minimos cuadrados

Recta que mejor se ajusta (Método de mínimos cuadrados)
Una recta que mejor se ajusta es una línea recta que es la mejor aproximación del conjunto de datos dado.
Es usada para estudiar la naturaleza de la relación entre dos variables.
Una recta que mejor se ajusta puede ser determinada aproximadamente usando el método visual al dibujar una línea recta en una gráfica de dispersión para quetanto el número de puntos arriba de la recta y debajo de la recta sean casi iguales (y la línea pasa a tráves de tantos puntos como sea posible).
Una forma más precisa de encontrar la recta que mejor se ajusta es el método de mínimos cuadrados.
Use los pasos siguientes para encontrar la ecuación de la recta que mejor se ajusta para un conjunto de parejas ordenadas.
Paso 1: Calcule la mediade los valores de x y la media de los valores de y.
Paso 2: Realice la suma de los cuadrados de los valores de x.
Paso 3: Realice la suma de cada valor de x multiplicado por su valor correspondiente y.
Paso 4: Calcule la pendiente de la recta usando la fórmula:
  
donde n es el número total de puntos de los datos.
Paso 5: Calcule la intercepción en y de la recta usando la fórmula:donde son las medias de las coordenadas de x y y de los puntos de datos respectivamente.
Paso 6: Use la pendiente y la intercepción en y para formar la ecuación de la recta.
Ejemplo:
Use el método de mínimos cuadrados para determinar la ecuación de la recta que mejor se ajusta para los datos. Luego grafique la recta.

Solución:
Grafique los puntos en un plano coordenado.

Calcule lasmedias de los valores de x y los valores de y, la suma de los cuadrados de los valores de x, y la suma de cada valor de x multiplicado por su valor correspondiente y.

Calcule la pendiente.

Calcule la intercepción en y.
Primero, calcule la media de los valores de x y la media de los valores de y.

Use la fórmula para calcular la intercepción en y.

Use la pendiente y la intercepción eny para formar la ecuación de la recta que mejor se ajusta.
La pendiente de la recta es -1.1 y la intercepción en y es 14.0.
Por lo tanto, la ecuación es y = -1.1 x + 14.0.
Dibuje la recta en la gráfica de dispersión.

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variableindependiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.
En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias en las ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función elegiday los correspondientes valores en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos aprocesar estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).
La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la...