Minimos cuadrados

Método de mínimos cuadrados para la aproximación de datos experimentales
Aproximación por rectas que pasan por el origen A continuación, efectuaremos el cálculo de la pendiente de la recta que pasa por el origen que mejor se aproxima a un conjunto de valores ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ),..., ( x N , y N ) experimentales. Este procedimiento es de gran importancia debido a que en las experienciasmuchas veces las magnitudes físicas dependen linealmente, como por ejemplo, la intensidad de corriente eléctrica es directamente proporcional a la diferencia de potencial en los elementos óhmicos. En reiteradas ocasiones, nos será útil encontrar la pendiente de la recta que mejor aproxime los datos experimentales, debido a que tendrá un importante significado físico. En el ejemplo anterior, lapendiente del gráfico diferencia de potencial (V) en función de la intensidad (I) es la resistencia eléctrica (R) del elemento a estudio. En los casos en los que la relación entre las variables no es lineal, muchas veces se puede linealizar las relaciones para llevarlas a este caso. Podemos expresar la relación lineal entre ambas magnitudes de la siguiente forma: y = ax En donde a es la pendiente de larecta, o sea, el valor que deseamos hallar. En el ejemplo anterior, y corresponde a la diferencia de potencial (V), x a la intensidad (I), y a es una constante de proporcionalidad, la cual es igual a la resistencia (R) del elemento. Cuando tratemos datos provenientes de una experiencia, debido a los errores experimentales, generalmente los datos experimentales no satisfacerán exactamente dichaecuación, sino que estarán próximos a la recta, pero no perfectamente alineados. Es decir la distancia de cada punto del gráfico a la recta, calculado como ε i = a xi − yi no será exactamente cero:

y

y = a x ε = a xi − yi

i

yi

xi

x

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La suma de las distancia de cada punto del gráfico a la recta elevada al cuadrado, que nos da una idea de cuan cerca esta la rectade los datos experimentales, llamada desviación cuadrática de los puntos respecto a la recta, estará dada entonces por la siguiente expresión:
N N  N 2  N   N 2 2 2 E = ∑ ε i = ∑ (axi − yi ) =  ∑ xi  a 2 −  2∑ xi yi  a +  ∑ yi  i =1 i =1  i =1   i =1   i =1 

Observemos que la desviación cuadrática de los puntos respecto a la recta es una función de la recta, cada recta (osea cada pendiente a) genera distancias de cada punto a dicha recta y por ende un valor de su suma al cuadrado. Lo que deseamos obtener es la recta (calcular la pendiente a) que minimice dicha función, o sea, obtener la recta que, en cierto sentido, esté más cerca de los puntos experimentales. Recordemos que para una parábola del tipo f (x ) = Ax 2 + Bx + C la abscisa del su −B vértice es x = . Siel coeficiente A es positivo, entonces dicha parábola tendrá 2A concavidad positiva y por ende la abscisa del vértice corresponde al valor de x en el que la función f (x ) toma su valor mínimo. La expresión de E como función de a es una parábola, con coeficientes 2 2 A = ∑ xi , B = 2∑ xi yi , C = ∑ yi . Observemos que corresponde a una parábola de concavidad positiva, ya que el coeficiente A, elque multiplica a a 2 , es Ello hace que dicha función tenga un mínimo para un valor de a =

∑x y ∑x
i 2 i

∑x

2 i

> 0.

i

. Dicho valor

de a corresponde a la pendiente de la recta que minimiza la suma de las distancias al cuadrado de cada punto experimental a la misma. Otra manera de obtener el mismo resultado es pensar que E es una función a, y lo que deseamos es obtener el valorde a que minimiza dicha función. Para lograr dicho objetivo, debemos imponer la siguiente condición de extremo: dE (a ) =0 da Al hacer la derivada de la función E como función de a obtenemos: 0=
N N N N dE (a ) N 2 2 = ∑ 2( y i − axi )xi = 2∑ xi y i − 2∑ axi = 2∑ xi y i − 2a ∑ xi da i =1 i =1 i =1 i =1 i =1

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0 = 2∑ x i y i − 2 a ∑ x i ⇔ a =
2 i =1 i =1

N

N

∑x y...