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Problemas. Páginas 272, 273, 274 . “Integración por Partes”

Para esta clase de problemas se aplica la siguiente fórmula:
(u . dv = u.v - (v . du .

1.- (x sen x dx
u = x dv = sen x dx
Para obtener “v” , se integra dv = senx ,en ambos miembros.
De igual modo se efectua en todos los problemas.
u = x (dv = (senx dx
du = dx v = - cos x
x(- cos x) - (- cos x . dx = - x . cos x + ( cos x . dx =
- x .cos x + sen x = sen x - x cos x + c .

2.- (ln x dx = x (ln x - 1) + c .
u = ln x dv = dx
du = 1 dx v = x
x

ln x . x - (x . 1 dx = ln x . x - (dx = x lnx - x = x(ln x - 1) + c .
x

3.- (x sen x dx = 4 sen x - 2x cos x d + c .
2 2 2

u = x (dv = 2(sen x .½ dx
2
du = dx v = - 2 cos x .2

x (- 2 cos x ) - (2 .cos x . dx = - 2x cos x - 2 .2 (cos x .(½) dx
2 2 2 2

- 2x cos x - 4 (cos x .(½) dx = - 2x cos x - 4(- sen x ).
2 2 22

- 2x cos x + 4 sen x = 4 sen x - 2x cos x + c .
2 2 2 2

4.- (x cos nx dx = cos nx + x sen nx + c .
n2 n

u = x dv = cos nx . dx
du = dx (dv = 1/n (cos nx.(n) dx

du = dx v = sen nx .
n

x . sen nx - (sen nx . dx = x .sen nx - 1 1 (sen nx .(n)dx =
n n n n n

x .sen nx - 1 - cos nx = x .sen nx + cos nx + c . =n n2 n n2

5.- (u sec2 u du = u tg u + ln cos u + c .

u = u dv = sec2 u du
(dv = (sec2 u du
du = du v = tg u

u .tg u - (tg u du = u .tg u - (- ln cos u) = u .tg u + ln cos u + c .

6.- (vsen2 3v dv = ¼ v2 - 1/12 v sen 6v - 1/72 cos 6v u + c .

u = v dv = sen2 3v dv
du = dv (dv = (sen2 3v dv
Se aplica : (sen2 u du = ½ u - ¼ sen 2u ; donde u = 3v
v = 1/3 (sen2 3v .(3) dv
v =1/3 [½ 3v - ¼sen 2(3v)]
v = 1/6 3v - 1/12 sen 6v
v = ½ v - 1/12 sen 6v
v (½ v - 1/12 sen 6v) - ((½ v - 1/12 sen 6v) dv =
½ v2 (- v . sen 6v) - ½(v dv + 1/12 .1/6 (sen 6v .(6) dv =
12

7.- (y2 sen ny dy = 2cos ny + 2 y sen ny - y2 cos ny + c .
n2 n
u = y2 dv = sen ny dy
du = 2y .dy (dv = (sen ny dy
v = (1/n)(sen ny .(n) dy
v = (- cos ny)...