Modelamiento Geométrico

Cap´ ıtulo 1

Teor´ de Interpolaci´n ıa o
Es un procedimiento cl´sico de aproximaci´n de funciones, verificando que a o para valores predeterminados (X0 , X1 , . . . , Xn ) tome valores dados [Y0 = f (x0 ), Y1 = f (x1 ), . . . , Yn = f (xn )]

Figura 1.1: En modelado computacional se desea dibujar una curva (posiblemente el contorno de una figura) inicia especificando unos puntos del plano quellevan a la forma.

1.1.

Interpolaci´n en espacios generales o

Deseamos interpolar dos puntos: A manera superficial muchas soluciones, incluso infinitas pueden satisfacer las condiciones 1

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´ CAP´ ITULO 1. TEOR´ DE INTERPOLACION IA

Figura 1.2: interactividad

y = −x + 3 y = x2 − 2x + 3 cos(π ∗ x + 5) y= 2 (1.1)

Estas 3 ecuaciones satisfacen los puntos de interpolaci´n (0, 3)y (1, 2) pues o son las condiciones dadas ver fig(1.3) A´n cuando los datos son puntos del plano (parejas de coordenadas) debemos u discriminarlos entre abscisas y ordenadas. Si los datos son 2 puntos, el polinomio m´s sencillo es una recta que los una, o sea un polinomio de grado 1. a P (x0 ) = ax0 + b = y0 P (x1 ) = ax1 + b = y1 Una soluci´n puede ser a=0 entonces o P (x) = b = y (1.3) (1.2)Si son 3 puntos el planteamiento es el mismo 3 ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = y Mirando los anteriores dos casos parece razonable que si tenemos (n + 1) puntos (x0 , y0 )(x1 , y1 ) . . . (xn , yn ) debemos buscar un polinomio de grado n, y este nos dar´ la soluci´n m´s sencilla al problema de interpolaci´n, entonces a o a o n + 1 ecuaciones y n + 1 inc´gnitas, que de generar una soluci´n nosdar´ el o o a polinomio de interpolaci´n buscado. o

´ 1.1. INTERPOLACION EN ESPACIOS GENERALES

3

Figura 1.3: tres ecuaciones interpolando 2 puntos Como vimos que una soluci´n puede ser cero, al interpolar n + 1 puntos o buscamos en el espacio de los polinomios de grado menor ´ igual a n o n+1⇒ p≤n

Si no queremos interpolar polinomios sino otro tipo de funciones: trigonom´trie cas,exponenciales ´ racionales, consideramos funciones similares o Deber´ estar claro que para realizar una interpolaci´n de n + 1 puntos con ıa o funciones diferentes a polinomios el espacio de trabajo deber´ ser de dimensi´n ıa o n+1 n+1⇒ β(n + 1) Un espacio vectorial de funciones dimensi´n n + 1 con una base: o β = (B0 (x), B1 (x), . . . , Bn (x)) Una funci´n cualquiera de este espacio o P (x) = a0B0 (x) + a1 B1 (x)+, . . . , +an Bn (x)) Una condici´n de interpolaci´n o o P (x0 ) = a0 B0 (x0 ) + a1 B1 (x0 )+, . . . , +an Bn (x0 ) = y0 P (x1 ) = a0 B1 (x1 ) + a1 B1 (x1 )+, . . . , +an Bn (x1 ) = y1 . . . P (xn ) = a0 B0 (xn ) + a1 B1 (xn )+, . . . , +an Bn (xn ) = yn (1.6) (1.5) (1.4)

4 En forma matricial

´ CAP´ ITULO 1. TEOR´ DE INTERPOLACION IA

    

B0 (x0 ) B1 (x0 ) . . .B0 (x1 ) B1 (x1 ) . . . . . .. . . . . . B0 (xn ) B1 (xn ) . . .

Bn (x0 ) Bn (x1 ) . . . Bn (xn )

    

a0 a1 . . . an





    =  

y0 y1 . . . yn

     (1.7)

Si det(B) = 01 el sistema dar´ una soluci´n unica y obtendremos la funci´n a o ´ o interpoladora P (x). el soporte (X0 , X1 , . . . , Xn ) de la matriz β puede perfectamente darnos det(β) = 0,pero para otra elecci´n del soporte (Xa , Xb , . . . , Xz ) ⇒ o det(β) = 0, por lo tanto se debe verificar la condici´n det(B) = 0, un ejemplo o sencillo de anulaci´n de det(B) ocurre en un espacio de funciones trigonom´trio e cas, 1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx si el soporte tiene al menos 2 puntos separados 2π habr´ 2 filas iguales det(β) = 0 ıa De (1.7) βa = y, se ve que la matriz dependeexclusivamente del soporte (X0 , X1 , . . . , Xn ) y el termino independiente, funci´n de las ordenadas (y0 , y1 , . . . , yn ) o raz´n principal para discriminar (considerar de forma separada) abscisas y oro denadas, evitar en un ejercicio de interpolaci´n (X0 , yo X1 , y1 . . . Xn , yn ) o Esta cuesti´n se vuelve m´s practica por ejemplo cuando es necesario hacer o a varias interpolaciones con el...