Modelo matematico de una cuerda que vibra

Proyecto Integrador 2010
Cálculo Numérico y Métodos Numéricos
Manelli, Andrés – Legajo: 09757

Modelo Matemático De Una Cuerda Que Vibra

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Índice

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Índice
1 Resumen . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . 5 2 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Fundamentosteóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.1 Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Inversión de matrices . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Factorización LU. Método de Doolitle . 3.2.2 Cálculo de las inversas de L y U . . . . . 3.3 Cálculo de valores y vectores propios . . . . . 3.4 Solución numérica de Ecuaciones Diferenciales . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . 9 . 9 10 10 11

4 Desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.1 Modelo Matemático del problema . . . .. . . 4.2 Solución Aproximada del Modelo Matemático 4.2.1 Expresión Analítica . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Solución del Problema no Homogéneo . 4.2.3 Solución del Problema Homogéneo . . . 5 Dos ejemplos de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 13 13 13 15 17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.1 m(x) = 3, p(x) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2 p(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 24 7 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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Resumen

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1 Resumen
En el proyecto integrador 2010 se estudiará con métodos numéricos el movimiento de una cuerda unidimensional que vibra, mediante un modelo simplificado en ecuaciones integrales. Se aplicaránconceptos estudiados durante el cursado de la materia utilizando un lenguaje de programación elegido por cada grupo de trabajo, respetando las consignas dadas por la cátedra. El programa desarrollado permite al usuario ingresar los parámetros para particularizar el modelo de la cuerda, y para especificar dónde (x) y cuándo (t) debe calcularse la solución a la ecuación de onda u(x, t). El usuario tendrá laposibilidad de guardar en variables la solución final de u(x, t), así como resultados intermedios. También cuenta con la opción de visualizar gráficos de diferente tipo, por ejemplo: convergencia de valores propios (problema homogéneo), coeficientes q(t)1, entre otras.

1. Coeficientes que multiplican a la solución propuesta u(x, t) =

φ j · q j (t)

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Introducción

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2 Introducción
Hoy en día una gran parte de los fenómenos físicos se pueden expresar mediante abstracciones, o modelos matemáticos. Estos modelos no siempre pueden (o no es práctico) representar de manera exacta lo que ocurre en el mundo real. Dicho de otra manera, se tiene la necesidad de generar modelos simplificados, discretizados, etc. para poder resolverlosnuméricamente de una forma sencilla, o no, pero eficiente. El proceso de generar el modelo numérico trae inevitablemente consigo ciertos, errores como por ejemplo, Error de Idealización y Error de Discretización. Evidentemente el diseño del modelo busca que las simplificaciones sean las adecuadas, ni demasiadas para involucrar demasiado error, ni muy pocas, que harían muy complejo al modelo. En este...