MODELO PREGUNTA 1 Teorema de Green Camila Bustos

Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Ingeniería en Minas
Prosecución de Estudios
Ingeniería Civil de Minas

CÁLCULO AVANZADO

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN
EN LA MINERÍA

Nombre
Profesor

: Camila Bustos Rojas.
: Guillermo Acuña

Santiago, jueves 30 de Mayo del 2013.

I.

INTRODUCCIÓN

El presente informe da a conocer el concepto y aplicación del teorema de Green en la vidacotidiana pero principalmente como podemos utilizarlo en situaciones practicas dentro de nuestra
vida laboral en la minería.
Se llama así por el científico británico George Green, donde según el cual el valor de una integral
doble sobre una región del plano simplemente conexa R queda determinado por el valor de la
integral de línea a lo largo del contorno e R. Es decir, relaciona la integral de línea deun campo
vectorial sobre una curva plana, con una integral doble sobre la región que encierra dicha curva.
Este tipo de teoremas resulta muy útil ya que dados un campo vectorial y una curva cerrada simple
sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre poder integrar el
campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales
cruzadassobre el recinto que este delimitando la curva.
Definición:
Sea R una región del plano simplemente conexa cuyo borde es una curva C suave a trozos y
orientada en sentido anti horario. Si M y N tienen derivadas parciales continúas en una región
abierta que contiene a R, entonces:

Las aplicaciones más importantes de este teorema son el cálculo de áreas (A) de recintos y el
cálculo de trabajo (W),por lo que a continuación se presentaran dos situaciones prácticas de
aplicación de este teorema relacionados directamente con el rubro de la minería.

II.

DESARROLLO

1. Aplicación Teorema de Green para Cálculo de Área (A)

Una de las etapas principales antes de empezar un proyecto minero es la exploración geológica
para determinar la existencia verídica de un yacimiento. Este se realizaanalizando el terreno a
través de estudios aéreos, fotos satelitales del terreno y con un análisis físico químico con criterio
de los resultados se puede seleccionar una cierta región a analizar.

A continuación se plantea la siguiente situación:

Una gran empresa minera, contrata a un grupo de ingenieros y geólogos para analizar el terreno
que poseen como posible yacimiento minero. El grupo decide quees necesario realizar un estudio
de exploración para analizar las condiciones del terreno.
La exploración geológica y geoquímica realizada por el grupo de ingenieros y geólogos da como
resultado la presencia de un porcentaje de minerales de cobre distribuidos de manera muy
concentrada. Se pudo determinar mediante estudios físico químicos el comportamiento de cómo
se distribuyen estos mineralesdentro de la corteza, este se encuentra dado por el siguiente campo
vectorial.

Un mes después de dicho estudio se decide realizar una campaña de sondajes para evaluar de
forma física la presencia de este elemento. Como en el estudio anterior se determino la presencia
de minerales de cobre, el grupo de trabajo se dio un la región delimitada por una curva circular de
radio 100 metros.

Esta funcióncircular tiene sentido ya que los yacimientos de cobre son macizos, de gran tamaño y
de altas leyes, y al tener la presencia de minerales con estas características se puede ir con
certeza a un ara de estudio extensa y regular.
Finalmente se debe calcular mediante al teorema de Green el área a la región determinada para la
campaña de sondajes.

Solución

Paso 1.- Entender el Problema:
Se debecalcular el área de la región delimitada por la curva formada por la ecuación circular,
mediante el teorema de Green.

Paso 2.- Plan a Seguir:


Sea



Calcular derivadas parciales de componentes M y N, es decir,



Transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas polares.



Reemplazar en la ecuación (i) para obtener el resultado.

y

.

Paso 3.- Desarrollo del Plan:

i.

Se debe calcular...