Modelos matematicos

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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemática

Tesis de Licenciatura Modelos Matemáticos para la Valuación de Derivados Financieros

Manuel Maurette

Director: Dr. Pablo Amster

Diciembre de 2006

A Lucy...

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Agradecimientos
A mi mamá y a mi papá por su apoyo constante durante toda la carrera. A mi familia cercana: Pablo, Lion,Dalmi y Dolores y a los gatos. A los de adentro: los Nico, Ignacio, Javier, Chechu y Magui con quienes transcurrí estos años en el Pabellón I. A los de afuera: Sebi, Santi, Juli, Fer y Titi. Con quienes transcurrí estos años fuera del Pabellón I. A Fabio y a Susana por hacerme, con sus materias motivadoras, amigar con la matemática. A Pablo por conar en mi, hacerme conocer el mundo de lamatemática nanciera y por todo lo que viene. A todos los que me conocen!

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Índice
1. Introducción nanciera
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Nociones básicas y glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis sobre los mercados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Un ejemplo para jar ideas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Valuación de Derivados: Modelo Discreto
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Contrato forward Paridad Put-Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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El modelo de Arrow-Debreu

ModeloBinomial para la valuación de una Call

3. El camino al modelo continuo: Árbol Binomial
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. Un método recursivo para valuar derivados . . . . . . . . . . . . . . . Valuación de una Call mediante el Árbol Binomial . . . . . . . . . . . Variación de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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20 22 22 24 25 27

Volatilidad . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . El paso al límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fórmula de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Modelo Continuo
4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. Procesos Estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unmodelo simple para el precio de un activo Análisis de . . . . . . . . . . . . .

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29 31 32 34 35 39

dX

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Integrales estocásticas

La Ecuación de Black-Scholes

5. Solución de la ecuación de Black-Scholes

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iii

5.1. 5.2.5.3. 5.4.

Valuación de una Call Europea

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 48 51 52

Análisis de la fórmula de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . Valuación de un bono y un contrato Forward . . . . . . . . . . . . . . Variaciones y Continuaciones de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . .

6. Modelo numérico y un caso particular: Opciones con costos de transacción54
6.1. 6.2. 6.3. Hedging discreto Diferencias Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 57 59

Un algoritmo para la valuación con costos

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Resumen
La idea del trabajo es mostrar y desarrollar diversos modelos matemáticos que se usan a la hora de valuar derivadosnancieros. El primer capítulo es una introducción para aquellos que no están familiarizados con los términos económicos con los que se trabajará a lo largo del trabajo. A continuación se estudia el primer modelo el discreto uno que supone que el valor de un activo puede variar solamente a tiempo nal. Este modelo, aunque parezca lejano a la realidad, ayuda a entender el problema de valuación. Luego se...
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