Modulos planos

´ MODULOS PROYECTIVOS
Cristhian Zuluaga Herrera Carlos Andres Barrera 10 de Marzo de 2008

Resumen Dada un secuencia exacta 0

GL

ψ

GM

ϕ

GN

G 0 siempre es posible definir lo siguiente

si f ∈ HomR (D, L) entonces la composici´n f = ψ ◦ f es un homomorfismo de R-m´dulos de D a M. Se o o puede representar esta relaci´n por el siguiente diagrama conmutativo: o De
f

e

0 GL

e

f

ψ

e2 GM

es decir la secuencia exacta se extiende a HomR (D, ) conservando el cero a la izquierda. Por otro lado, dado un R-m´dulo D fijo y f ∈ HomR (D, N ) este no siempre es posible extenderlo a o HomR (D, ), es decir, hacer que el siguiente diagrama conmute.

F

M

~}

}

}

}

D

ϕ

GN



f

G0

Aquellos R-m´dulos D que se puedan extender a HomR(D, ) tal que el anterior diagrama conmute, o seran definidos como m´dulos proyectivos. o

1.
Teorema 1.1 sea D, L y M R-m´dulos y sea ψ : L → M un homomorfismo de R-m´dulos. Entonces la o o funci´n o ψ : HomR (D, L) → HomR (D, M ) f → f =ψ◦f

es un homomorfismo de grupos abelianos. Si ψ es inyectivo, entonces ψ tambi´n es inyectivo, es decir e

1

si 0 entonces 0 Demostraci´n: o ψ eshomomorfismo. en efecto, ψ (f + g) = ψ (f ) + ψ (g) sea x ∈ D ψ (f + g)(x) =

GL

ψ ψ

G M es exacta, G HomR (D, M ) es tambi´n exacta. e

G HomR (D, L)

(f + g)(x) donde f, g ∈ HomR (D, L)

= ϕ ◦ (f + g)(x) = ϕ ◦ (f (x) + g (x)) = ϕ (f (x)) + ϕ (g (x)) = (ϕ ◦ f )(x) + (ϕ ◦ g)(x)

= ψ (f ) + ψ (g) . para α ∈ R se verifica que ψ (αf ) = αψ (f ) sea ψ inyectiva por hip´tesis, y ψ (f ) = ψ(g) f y g distintos homomorfismos de D sobre L, por la forma o como esta definida ψ , se tiene ψ ◦ f y ψ ◦ g de D sobre M, as´ ψ (f ) = ψ (g) de donde f = g, por tanto ψ ı inyectiva.

Siempre es posible extender para un R-modulo un homomorfismo sobre M dada la anterior secuencia exacta. Pero la situaci´n para homomorfismos sobre N es menos evidente, m´s precisamente, dado un homoo a morfismo f : D → Nla pregunta es cuando existe un homomorfismo de R-m´dulos F : D → M que extiende o f a M, es decir, que el siguiente diagrama conmute: } D
f

F

M

~}

}

}

ϕ

 GN

as´ la composici´n con el homomorfismo ϕ induce un homomorfismo de grupos abelianos ı o ϕ : HomR (D, M ) → HomR (D, N ) F → F = ϕ ◦ F.

en t´rminos de ϕ , el homomorfismo f a N extiende a un homomorfismo a M si y solosi f esta en la imagen e de ϕ . Veamos un ejemplo de lo dicho anteriormente:

Ejemplo 1.2 considere la siguiente secuencia exacta que no cinde 0 0 GZ
2

GZ G0

2

GZ

π

G Z/2Z

G0

GZ —g

π

g
F

G Z/2Z y g Z/2Z
i

g

Los elementos en Z/2Z son de orden finito, la imagen de F debe ser subgrupo en Z de orden finito, adem´s a el orden de los elementos de la imagen debendividir a |Z/2Z| = 2, as´ F debe ser el homomorfismo nulo pues ı F 0 = {0}, ahora F 1 = {b} con b = 0 |b| /2 lo cual es imposible ya que Z no tiene elementos de orden finito. As´ π ◦ F = i. ı Teorema 1.3 Sea D, L, M, y N R-m´dulos. si o

0 entonces la secuencia asociada 0

GL

ψ

GM

ϕ

GN

G 0 es exacta,

G HomR (D.L)

ψ

G HomR (D, M )

ϕ

G HomR (D, N ) es exacta.

unhomomorfismo f : D → N extiende a el homomorfismo F : D → M si y solo si f ∈ HomR (D, N ) est´ en la imagen de ϕ . En general ϕ : HomR (D, M ) → HomR (D, N ) no necesariamente es sobreyectiva; a El mapeo ϕ es sobreyectiva si y solo si todo homomorfismo de D a N extiende a un homomorfismo de D a M, en cuyo caso la secuencia anterior puede ser extendida a una secuencia exacta corta. Demostraci´n: o Debemosprobar la exactitud de la secuencia en HomR (D, M ), es decir, Kerϕ = Imψ . Supongamos F : D → M es un elemento de HomR (D, M ) en el kernel de ϕ , es decir, con ϕ ◦ F = 0 como homomorfismos de D a N. Para todo d ∈ D, se tiene que ϕ (F (d)) = 0, as´ F (d) ∈ kerϕ. Por hip´tesis tenemos ı o la exactitud de la secuencia en M, as´ kerϕ = Imψ, por lo que existe alg´n elemento l ∈ L con F (d) = ψ (l)....