momento de inercia de una masa
Páginas: 6 (1410 palabras)
Publicado: 11 de marzo de 2014
MOMENTOS DE INERCIA DE MASA
MOMENTOS DE INERCIA DE UNA MASA
Considere una pequeña masa Δm que esta montada sobre una barra de masa insignificante lo cual se puede rotar libremente alrededor de un eje AA como en la figura (9.20a).
Se desea indicar que el tiempo recorrido para que el sistema alcance una velocidad de rotación dada es proporcional ala masa Δm y al cuadrado de la distancia r .por tanto el producto r² Δm es proporciona una medida de la inercia del sistema esto es una medida de resistencia que ofrece el sistema cuando se trata de ponerlo en movimiento. por esta razón el producto r²Δm es llamado el momento de inercia de la masa Δm con respecto al eje AA`.
Ahora considere un cuerpo de masa m el cual se ara girar alrededor al rededor del eje AA` figura (9.20 b). sise divide el cuerpo en elementos de masa Δm1,Δm2 etc.se encuentra que la resistencia que ofrece el cuerpo al movimiento de rotación se mide por la suma r²1 Δm1+ r²2 Δm2 +… por lo tanto la suma se define como el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje AA`.
El radio de giro k del cuerpo con respecto con respecto al eje AA` esta definido por la relación
I= K²Mo K=√I/M
en este sentido el radio de giro k representa la distancia ala cual se debe concentrar toda la masa del cuerpo si su momento de inercia con respecto a AA` debe permanecer inalterado figura(9.20c)
el momento de inercia de un cuerpo con respecto al eje coordenado puede expresarse en termino de las coordenadas x,y,z del elemento demasa dm figura (9.21) por ejemplo observe que el cuadrado desde la distancia r desde el elemento dm hasta el eje y es igual a z²+x², se expresa el elemento de inercia del cuerpo con respecto al aje y como
Se pueden obtener expresiones similares para los momentos de inercia respecto a los ejes x y z. así se escribe
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
Considere un cuerpo de masa m. sea 0xyz unsistema de coordenadas rectangulares cuyo origen esta localizado en el punto arbitrario 0 y sea Gx`y`z un sistema de ejes centroidales paralelos, esto es, un sistema cuyo origen esta en el centro de gravedad G del cuerpo y cuyos ejes x`y`z` respectivamente figura(9.22)
Representando con las coordenadas de g con respecto a 0xyz, se escriben las relaciones entre las coordenadas x,y,z del elementodm con respecto a 0xyz y las coordenadas x`y`z` de dicho elemento con respecto a los ejes centroidales Gx,y,z
Con las ecuaciones(9.30) se puede expresar el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje x de la siguiente forma:
La primera integral de la expresión anterior representa el momento de inercia Ix, del cuerpo con respecto al eje centroidal x`, la segunda y la tercerarepresentan, respectivamente, el primer momento del cuerpo con respecto a los planos z`x` y x`y` como ambos planos contienen al punto G, las dos integrales son iguales a cero; la ultima integral es igual ala masa total m del cuerpo. por tanto se escriben,
Y en forma similar,
Como base para la figura 9.22 se puede verificar que la sumarepresenta el cuadrado de la distancia OB entre los ejes Y y Y` .en forma análoga
Representa respectivamente los cuadrados de la distancia entre los ejes x y x` y entre los ejes zy z`.por tanto representando con d la distancia entre un eje arbitrario AA` y un eje centroidal paralelo BB` figura(9.23)se puede escribir la siguiente relación general entre el momento de inercia I del cuerpo respecto a AA`y su momento de inercia con respecto a BB`
Expresando los momentos de inercia en términos de los radios de giro correspondientes, también se puede escribir
K²=
Donde k y k representan, respectivamente los radios de giro del cuerpo con respecto a AA` y BB`
MOMENTOS DE INERCIA...
MOMENTOS DE INERCIA DE UNA MASA
Considere una pequeña masa Δm que esta montada sobre una barra de masa insignificante lo cual se puede rotar libremente alrededor de un eje AA como en la figura (9.20a).
Se desea indicar que el tiempo recorrido para que el sistema alcance una velocidad de rotación dada es proporcional ala masa Δm y al cuadrado de la distancia r .por tanto el producto r² Δm es proporciona una medida de la inercia del sistema esto es una medida de resistencia que ofrece el sistema cuando se trata de ponerlo en movimiento. por esta razón el producto r²Δm es llamado el momento de inercia de la masa Δm con respecto al eje AA`.
Ahora considere un cuerpo de masa m el cual se ara girar alrededor al rededor del eje AA` figura (9.20 b). sise divide el cuerpo en elementos de masa Δm1,Δm2 etc.se encuentra que la resistencia que ofrece el cuerpo al movimiento de rotación se mide por la suma r²1 Δm1+ r²2 Δm2 +… por lo tanto la suma se define como el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje AA`.
El radio de giro k del cuerpo con respecto con respecto al eje AA` esta definido por la relación
I= K²Mo K=√I/M
en este sentido el radio de giro k representa la distancia ala cual se debe concentrar toda la masa del cuerpo si su momento de inercia con respecto a AA` debe permanecer inalterado figura(9.20c)
el momento de inercia de un cuerpo con respecto al eje coordenado puede expresarse en termino de las coordenadas x,y,z del elemento demasa dm figura (9.21) por ejemplo observe que el cuadrado desde la distancia r desde el elemento dm hasta el eje y es igual a z²+x², se expresa el elemento de inercia del cuerpo con respecto al aje y como
Se pueden obtener expresiones similares para los momentos de inercia respecto a los ejes x y z. así se escribe
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
Considere un cuerpo de masa m. sea 0xyz unsistema de coordenadas rectangulares cuyo origen esta localizado en el punto arbitrario 0 y sea Gx`y`z un sistema de ejes centroidales paralelos, esto es, un sistema cuyo origen esta en el centro de gravedad G del cuerpo y cuyos ejes x`y`z` respectivamente figura(9.22)
Representando con las coordenadas de g con respecto a 0xyz, se escriben las relaciones entre las coordenadas x,y,z del elementodm con respecto a 0xyz y las coordenadas x`y`z` de dicho elemento con respecto a los ejes centroidales Gx,y,z
Con las ecuaciones(9.30) se puede expresar el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje x de la siguiente forma:
La primera integral de la expresión anterior representa el momento de inercia Ix, del cuerpo con respecto al eje centroidal x`, la segunda y la tercerarepresentan, respectivamente, el primer momento del cuerpo con respecto a los planos z`x` y x`y` como ambos planos contienen al punto G, las dos integrales son iguales a cero; la ultima integral es igual ala masa total m del cuerpo. por tanto se escriben,
Y en forma similar,
Como base para la figura 9.22 se puede verificar que la sumarepresenta el cuadrado de la distancia OB entre los ejes Y y Y` .en forma análoga
Representa respectivamente los cuadrados de la distancia entre los ejes x y x` y entre los ejes zy z`.por tanto representando con d la distancia entre un eje arbitrario AA` y un eje centroidal paralelo BB` figura(9.23)se puede escribir la siguiente relación general entre el momento de inercia I del cuerpo respecto a AA`y su momento de inercia con respecto a BB`
Expresando los momentos de inercia en términos de los radios de giro correspondientes, también se puede escribir
K²=
Donde k y k representan, respectivamente los radios de giro del cuerpo con respecto a AA` y BB`
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