Momento de inercia

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Momento de inercia de figuras regulares
El momento de inercia es una magnitud cuyo valor depende de la distribución de lamasa respecto del eje considerado, por lo tanto un mismo cuerpo puede tenerinfinitos momentos de inercia.
Si los elementos de masa de un objeto se distribuyen paralelos al eje de rotación, elmomento de inercia del objeto no cambia. Por lo tanto, la expresión I = MR2sepuedeusar con igual eficiencia para calcular el momento de inercia axial de unanillo de bordado o de un largo tubo de drenaje. De igual modo, una puerta quegira en sus bisagras se describe con la misma expresión de momento de inerciaque la tabulada para una varilla larga y delgada que gira alrededor de su extremo.
A continuación tenemos algunas figuras regulares con su momento de inercia

Un momentode inercia es un así llamado "momento de segundo orden" que es el nombre más genérico y correcto para la generalidad de aplicaciones.

Mientras un momento de primer orden es del tipo:

M = P r¹

donde, aunque no es necesario, deliberadamente pongo el exponente 1 a la distancia r para indicar precisamente que es de 1º orden, y donde llamo P a n parámetro cualquiera que podría ser: una fuerza,el peso (o sea un caso particular de fuerza), pero también una masa m, un área A, etc. el momento de segundo orden es del tipo:

J = P r²

o sea la distancia r del elemento con el cual se toma momentos a un cierto punto o a un cierto eje dado por r se eleva al cuadrado.

En los detalles adicionales ponés "me refiero al momento de inercia de las figuras regulares", entonces te estásrefiriendo a figuras planas. Cuando hablamos de momentos de inercia de figuras planas, no tiene sentido hablar de masa, porque es una figura, no un cuerpo, y al ser su espesor infinítamente pequeño, el de un punto, en teoría debería tener masa si tiene volumen siendo ésta: 
m = ρ V (densidad x volumen)

pero en vez de masa tomaos un "elemento de área" y no me queda otro remedio que usar elementos decálculo diferencial. se supone que si estás viendo momentos de inercia tenés idea de esta parte de la matemática (auqnue la primera vez en física a los 14 años me fue introducido el concepto sin entender yo mucho qué era, y aprendí cálculo infinitesimal 2 años después, pero era para las rotaciones e intervenía la masa, para figuras planas sí o sí debemos usar estos conceptos).

Entonces un"elemento" de momento de segundo orden es:

dJ = dA r²

Como sugerí por ahí arriba, dicho momento se puede tomar respecto de un punto (momento de inercia o de segundo orden polar) o respecto de un eje (axial).

Si tenemos una figura plana (no tiene que ser regular) vamos a tomar su momento de 2º orden respecto de un eje. Por ejemplo un cuadrado, así es regular para el caso, respecto de un eje quepase por su centro y paralelamente dos de sus lados.

El momento de inercia o de segundo orden está dado por la suma de los productos de todos sus elementos de área multiplicados por su distancia a dicho eje al cuadrado. Supongamos que el eje x es el que pasa por su centro, y sus lados superior e inferior son paralelos al eje x.

Un elemento de área será una "tira" horizontal, o sea paralela a x,de altura dy y ancho L (siendo L la medida del lado del cuadrado): 
dA = L dy

La distancia de dA al eje x será r = y, entonces:

dJ = r² dA = y² dA = y² (L dy) = L y² dy

Esto debe ser integrado entre ymáx = L/2 e ymín = -L/2, que son las distancias máxima y mínima respectivamente, entonces:
. . . . L/2
J = L ∫ y² dy = L y³/3 ]entre L/2;-L/2
. . . .-L/2

J = L [ ⅓ L³ /8 - (-⅓ L³ /8)] = 2 L^4 / 24 = L^4 /12
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quiere decir que el momento de inercia de un cuadrado respecto de su eje baricéntrico paralelo a dos de sus lados es

J = L^4 / 12
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¿Por qué llamarlo momento de "inercia"?

Por analogía en su formulación con el momento de segundo orden de la masa de un cuerpo respecto de un eje...
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