Momento De Inercia
Tenemos que calcular la cantidad
donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de uneje perpendicular a la varilla que pasa a través de
• Un extremo
• De la segunda masa
• Del centro de masa
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es
IA=1•02+1•0.252+1•0.52+1•0.752+1•12=1.875 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula esIB=1•0.252+1•02+1•0.252+1•0.52+1•0.752=0.9375 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es
IC=1•0.52+1•0.252+1•02+1•0.252+1•0.52=0.625 kgm2
En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA e IB, sabiendo lasdistancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.
La fórmula que tenemos que aplicar es
I=IC+Md2
• IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa
• I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior
• M es la masa total del sistema
• d es la distancia entre los dos ejes paralelos.
IA=IC+5•0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.IB=IC+5•0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
Momento de inercia de una distribución continua de masa
Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es
dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación
Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías
• Aplicación directa del concepto de momento de inercia• Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido
Momento de inercia de una varilla
Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es
El momento de inercia de la varilla esAplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje derotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es
El momento de inercia del disco es
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.
Tomamos un elemento de masaque dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es
El momento de inercia del cilindro e
Momento de inercia de una placa rectangular
Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto deleje que pasa por la placa.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es
El momento de inercia de la placa rectangular es
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.
Tomamos...
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