Metodo De Bonferroni

Método de Bonferroni
Se utiliza frecuentemente cuando se quiere realizar un número pequeño de comparaciones. Suponga que un experimnetador quiere hacer comparaciones
. Entonces

se rechaza
si
Donde
el percentil de una distribución de variables multivariada con error.
En la tabla A.2 del Apendice del libro de Milliken se encuentran los valores de de Bonferroni para valores
,glerror y al 10, 15 al 50 (de cinco en cinco),100 y 250.
Tenga en cuenta que en esta tabla y número de comparaciones.
Si , y entonces . Este valor se puede encontrar tambien en una tabla de distribución pero utilizando utilizando como nivel de significación paara el cual .
  Ejemplo 1   |
En el ejemplo de los medicamentos si se comparan todos los pares de medias posibles al nivel designificación de 5% , entonces se tienen comparaciones (contrastes simples), y así el valor de
El valor porcentual de la distribución de Bonferroni se busca con el valor de y no con pero el valor que se encuentra es el percentil.
Los intervalos de confianza para el método de Bonferroni que se pueden recomendar, tienen la forma

donde es en número de comparaciones.
Este método es particularmentebueno cuando el experimentador quiere hacer solamente un número pequeño de comparaciones. Milliken recomienda este método en comparaciones planeadas cuando la prueba para la igualdad de medias ha sido significativa.
  Ejemplo 2   |
(ejemplo 10.2.1Pag 295 susan)
Un ingeniero químico está estudiando un polímero recientemente desarrollado para ser utilizado en la eliminación de los residuostóxicos del agua. Los experimentos se realizan a cinco temperaturas diferentes. La respuesta observada es el porcentaje de impurezas eliminadas por el tratamiento; se han obtenido los siguientes datos:

La tabla de ANOVA aparece a continuación en la cual se observa que la hipótesis se puede rechazar con .

Supongase que se desea realizar las comparaciones posibles por parejas
;
; ;
;
Y sequiere que la probabilidad de cometer almenos un rechazo incorrecto sea como máximo de .
Bajo la suposición de que las varianzas poblacionales son iguales, puede contrastarse cada una de estas hipótesis utilizando una prueba de varianzas conjunta de dos colas, donde la prueba estadística es:
Donde

Donde es el estimador conjunto de basado en muestras extraídas de las poblacionales y .También se pueden disponer de otro estimador de , es decir de , el cual está badado en todos los datos disponibles y de esta manera la prueba puede mejorarse utilizando:

como la ejecución de los test es laboriosa se procede con el test de Bonferroni basado en el estadístico anterior.
Este procedimiento implica un serio problema que debe ser tratado con cuidado, es decir, si todos los test seejecutan a un nivel de significación , la probabilidad general de hacer al menos un rechazo incorrecto, indicado por , es mayor que y su valor generalmente es desconocido. Sin embargo se puede demostrar que siempre que se realice un conjunto de test , cada uno de ellos el nivel de significación , es como mucho .
Por ejemplo, si , entonces como se ha demostrado en el ejemplo que se está siguiendo haypares posibles de medias que pueden compararse. Si cada test se realiza al nivel , entonces la probabilidad de efectuar al menos un rehazo incorrecto es como mucho . Es fácil apreciar que a medida que aumenta, la posibilidad general de error puede ser inaceptablemente alta.
Para realizar los test de Bonferroni, de forma responsable, elegimos algún límite superior razonablemente pequeño, , parala probabilidad de cometer al menos un rechazo incorrecto. A continuación podemos realizar cada test al nivel de significación donde indica el número actual de test a realizar, por ejemplo si queremos que sea de como mucho , realizaremos cada una de nuestras comparaciones por parejas al nivel de significación.
Para el ejemplo que tratamos la hipótesis nula
puede rechazarse con
Supongamos...