Momentum

7. Momento angular

7. MOMENTO ANGULAR
El concepto de momento angular es muy útil para describir movimientos en dos o tres dimensiones y rotaciones. Consideremos el movimiento de un punto de masa m respecto de O. Este movimiento se puede pensar como la superposición un movimiento radial con velocidad vr y un movimiento de rotación alrededor de O con velocidad vt . Desde este punto de vista lacantidad de movimiento p = mv es la suma de dos términos:

p = mvr + mvt = pr + pt

(7.1)

ˆ ˆ donde pr = r ( r ⋅ p) es la cantidad de movimiento radial y pt la cantidad de movimiento asociada con la rotación alrededor de O (Fig. 7.1).

p pt pr m r

O

Fig. 7.1. El movimiento de un punto respecto de O se puede pensar como la superposición de un movimiento radial y un movimiento derotación alrededor de O. Una forma práctica de separar las dos partes de p es introducir la cantidad
L=r×p

(7.2)

dado que L depende solamente de pt porque

L = r × p = r × pt

(7.3)

La magnitud L se llama momento angular y es el momento1 de la cantidad de movimiento; su valor depende de la elección de O, en efecto el momento angular respecto del punto O′ que difiere de O por undesplazamiento rOO′ es LO′ = LO − rOO′ × p (Fig. 7.2). Cuando no haya riesgo de confusión daremos por sobreentendido el punto respecto del cual se calcula L.

1

El origen del término momento proviene de que se denomina momento de un vector A (aplicado en el punto P)

respecto de un origen O a la cantidad M = rOP × A .

201

7. Momento angular

Fig. 7.2. El momento angular depende del puntorespecto del cual se lo calcula. Veamos dos ejemplos: • Sea un cuerpo de masa m que sigue una trayectoria circular con velocidad angular ω alrededor de un eje y sea O un punto del eje (Fig. 7.3). Entonces v = ω × r = ω × r⊥ , luego p = mv = mω × r⊥ y el momento angular respecto de O es
L = r × p = m r × (ω × r⊥ )

(7.4)

Si A, B, C son tres vectores cualesquiera A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − (A ⋅ B)C , luego
2 L = m r⊥ ω − mr||ω r⊥

(7.5)

Si O coincide con el centro de giro r|| = 0 y
2 L = m r⊥ ω

(7.6)

w

r ⊥ r

m

p v

O

Fig. 7.3. Momento angular de un cuerpo que sigue una trayectoria circular. • Sea un objeto que se mueve con movimiento rectilíneo y O un punto cualquiera (Fig. 7.4). Luego L = r × m v ; pero r = r|| + r⊥ y entonces
L = m r⊥ × v

(7.7)

2027. Momento angular

p

r ⊥
O

r

Fig. 7.4. Momento angular de un cuerpo que se mueve con movimiento rectilíneo. Relaciones entre momento angular, cantidad de movimiento y energía cinética Dado que el momento angular y la cantidad de movimiento radial son magnitudes útiles para describir movimientos conviene tener a mano expresiones que las vinculen con la energía cinética. La energíacinética se expresa como T = 1 m v2 = 2 Partiendo de la definición de L calculemos p2 2m (7.8)

L2 = L ⋅ L = ( r × p) ⋅ ( r × p) = r 2 p2 sen 2 ϕ = r 2 p2 (1 − cos2 ϕ )

(7.9)

2 donde ϕ es el ángulo entre r y p. Pero rp cos ϕ = r ⋅ p = rpr de modo que L2 = r 2 p2 − r 2 pr . Dividiendo por 2 mr 2 resulta

L2 p2 p2 = − r 2 mr 2 2 m 2 m y entonces T= L2 p2 + r 2 mr 2 2 m

(7.10)

(7.11)Claramente el primer término del miembro derecho es la parte de la energía cinética debida a la rotación alrededor del punto respecto del cual estamos calculando el momento angular y el segundo término es la parte de T asociada con el movimiento radial. Variación del momento angular Diferenciando la definición de L obtenemos
dL = dr × p + r × dp = r × Fdt

(7.12)

pues dr × p = vdt × p =0 . Luego

dL =r×F dt

(7.13)

203

7. Momento angular Ahora M ≡ r × F es el momento de F (calculado respecto del punto desde donde tomamos el momento angular). Luego

dL =M , M=r×F dt

(7.14)

Esta es la ecuación de movimiento del momento angular y expresa que la tasa de variación del momento angular es igual al momento aplicado. Fuerzas centrales y conservación del movimiento...