Movimiento en 2 dimensiones

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Movimiento en dos dimensiones
1. Desplazamiento y Velocidad en el Movimiento Curvilíneo
Considérese una partícula que se mueve en una trayectoria curva de P a Q en el plano x - y (Fig.1). En P el corrimiento de la partícula a partir del origen es r. Si x y y son los vectores componentes de r según los ejes de coordenadas, entonces

En Q el desplazamiento de la partícula a partir del origenpuede escribirse , siendo s el desplazamiento de la partícula al ir de P a Q.
Consideremos que la partícula se mueve en la trayectoria curva de P a Q en el intervalo de tiempo Δt. Entonces la velocidad media durante Δt es s/Δt; su dirección es la de s, según la cuerda PQ. Ahora consideremos que el punto Q se escoge sucesivamente más y más cerca de P. Conforme el intervalo Δt y la longitud de lacuerda tienden a cero, la dirección de la cuerda se acerca a la de la línea tangente a la curva en P (Fig. 2). La velocidad instantánea de la partícula en el punto P es

que es un vector en la dirección de la tangente a la curva en el sitio donde está la partícula y cuya magnitud es la rapidez de la partícula ds/dt.

Conforme la partícula se mueve en su trayectoria, sus proyecciones sobrelos ejes x y y se mueven en esos ejes con movimiento rectilíneo. Las velocidades de las proyecciones (Fig.3) son las componentes rectangulares de la velocidad y de la partícula:
y

Si vx, y vy se determinan independientemente, simplemente las sumamos vectorialmente para obtener la velocidad resultante v.

2. Movimiento en un Plano con Aceleración Constante
Cuando una partícula semueve en una línea recta, su vector velocidad puede tener cualquier magnitud, pero debe estar alojado en esa línea. En cambio, cuando una partícula se mueve en una trayectoria curva en un piano, su vector velocidad puede tener cualquier dirección en el plano, así como cualquier magnitud. El vector velocidad es tangente a la curva en cada punto del movimiento. Esos dos resultados se relacionan por elhecho de que la velocidad a lo largo de la curva es el vector suma de las velocidades componentes según los ejes x y y.
De igual manera, cuando una partícula se mueve en línea recta, su vector aceleración puede tener una magnitud cualquiera, pero debe estar dirigido a lo largo de esa línea. En cambio, cuando una partícula se mueve en una trayectoria curva en un plano, su vector aceleración puedetener cualquier dirección en el plano, así como cualquier magnitud. Determinamos la aceleración en un movimiento curvilíneo, sumando vectorialmente las aceleraciones componentes según los ejes x y y.
Considérese nuevamente la partícula que se mueve en la curva PQ. En algún Instante su velocidad y tiene un valor definido y la velocidad del movimiento proyectado sobre el eje de las x, v tiene unvalor definido. Conforme transcurre el tiempo, la partícula se mueve en la curva y tanto y como y, cambiarán, en general. La componente del movimiento sobre el eje de las x está dada simplemente por ax = dvx/dt. Análogamente, la componente del movimiento sobre el eje de las y puede tratarse como movimiento acelerado según una línea recta, y la aceleración instantánea en la dirección de las y estádada por ay = dvy/dt.
Por consiguiente, la aceleración a de la partícula que se mueve en una curva plana se obtiene inmediatamente como la suma de las aceleraciones componentes; esto es,

o

En la fig. 4 mostramos a y sus componentes rectangulares ax y ay para un movimiento supuesto en una curva, Nótese que en general, el vector aceleración no tiene la misma dirección que el vector velocidad.Para aclarar esos conceptos, consideremos primero el caso específico de movimiento en un plano con aceleración constante.
Si a es constante, sus componentes ax y ay también deben ser constantes. Entonces tenemos un caso en el cual hay movimiento rectilíneo con aceleración constante simultánea-mente, según dos ejes perpendiculares. Representemos con Vox, y Voy, las componentes sobre el eje de...
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