Multiplos factores primos

Universidad Tecnológica Centroamericana
Facultad de Ingeniería
Matemática Nivelatoria

Múltiplos y factores de un número entero
  
Definición
 
Sean si se dice es un número múltiplo de y son factores o divisores de .

Ejemplo:
1. Como entonces es un múltiplo de y , 9 es un factor o divisor de .
2. Como entonces es un múltiplo de y y también y son factores o divisores de.
3. Como entonces -42 es un múltiplo de y y también y son factores o divisores de -42.
   
Definición
 

Sean y un factor de . Si entonces recibe el nombre de factor natural de .

Ejemplo:
1. Como y entonces recibe el nombre de factor natural de -30.
2. Como y entonces y reciben el nombre de factores naturales de .

Ejemplo:

Determine los factores (divisores)naturales de
Solución:
es divisible únicamente por 1, -1, 2, -2, 7, -7, 14 y -14 y por lo tanto los factores (divisores) naturales de son: y .
Ejemplo

Determine todos los factores (divisores) naturales de
Solución:
es divisible únicamente por y entonces los factores (divisores) naturales son: y .


Ejemplo

Determine todos los factores (divisores) naturales de
Solución:
esdivisible únicamente por 1, -1, 17 y -17 entonces los factores o divisores naturales de son: y .


Ejercicio
1. Determine todos los factores naturales de
2. Determine todos los factores naturales de
3. Determine todos los factores naturales de
Observación:
Si entonces siempre se cumple que y son factores o divisores de . Pues:

Números primos y números compuestos
  
Definición 

Sea .
Se dice que es un número primo, si sus únicos factores (divisores) naturales son y .

Ejemplo:
a.)
es un número primo, pues sus únicos factores (divisores) naturales son y .
b.)
no es un número primo, pues sus factores naturales son y .
Ejercicio
1. Escriba los números naturales primos menores que .
2. ¿Es un número primo? Justifique su respuesta.
3. ¿Es unnúmero primo? Justifique su respuesta.
4. ¿Cuáles número naturales pares son números primos?
   
Definición
 
Sea .
Se dice que es un número compuesto, si no es un número primo.

Ejercicio

Escriba cinco números naturales compuestos.
  
Definición
 
Sea
Si es un factor natural de , y es un número primo se dice que es un factor primo de a.

Ejemplo:
a.)
y sonnúmeros primos por lo que y son factores primos de
b.)
, como y son números primos y a su vez son factores de , entonces y son factores primos de .

Ejercicio
Determine los factores primos, de los siguientes números:

Máximo común divisor
Los conjuntos cuyos elementos son los divisores naturales de y respectivamente son:



Encerrados en un rectángulo aparecen los números quepertenecen a ambos conjuntos, al mayor de estos números lo llamaremos máximo común divisor de y , en este caso es , y escribimos: M.C.M.(12,18)=6
En general si son números naturales y el máximo divisor común de ellos es entonces escribimos: (a,b,…,c)=k

Ejemplo
Determine M.C.D (12,40,56)
Solución:





Así obtenemos que M.C.D.
  
Definición
 
El máximo común divisor de dos o másnúmeros naturales es el mayor número natural que es divisor de cada uno de los números dados.

Ejercicio:
Verifique que:
1.
M.C.D (450, 1251)=9
2.
M.C.D (777,854,77)=7
 
El procedimiento que hemos visto para determinar el máximo común divisor de dos o más números no es muy práctico cuando se trabaja con cantidades grandes.
Podemos obtener el mismo resultado con el procedimiento quese presenta en el siguiente ejemplo.



Ejemplo
Determine M.C.D (2520, 720, 540)
Solución:
El procedimiento se basa en escribir los divisores primos comunes de los tres números en una columna a la derecha de la línea vertical.
 
Observe que y no tienen divisores primos comunes, por lo que el procedimiento se "detiene"
El M.C.D. de los tres números dados al inicio se obtiene...