Método de arandelas

4.4 Cálculo de volúmenes.

|Volúmenes de sólidos obtenidos por revolución |

Cuando una región en el plano rota alrededor de una línea recta tal que a lo suma esta línea es frontera de la región ( no la intersecta) se produce un sólido tridimensional que se llama sólido de revolución .
La recta alrededor de la cual rota la región se llama ejede rotación o de revolución.
[pic]
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MÉTODO DE DISCOS:
Inicialmente la rotación será alrededor de una de los ejes coordenados
La región limitada por la gráfica de la curva [pic]las rectas [pic][pic]el eje [pic]rota alrededor del eje [pic].
Se hace una partición del intervalo [pic]para un subintervalo [pic]se toma [pic]
Las secciones transversalesperpendiculares al eje de rotación son discos circulares de radio [pic]. Así el volumen de un disco será [pic]de modo que [pic]
Al tomar el límite cuando la norma de la partición tiende a cero [pic]
[pic]

Ejemplo 1: Utilizando rotación de una semicircunferencia alrededor del eje [pic]se puede verificar
que el volumen de una esfera es [pic]

Tomando la parte superior de la circunferencia [pic][pic]yhaciendo rotar la región limitada por la semicircunferencia y el eje [pic]alrededor del eje [pic]se obtiene [pic]
[pic]

Ejemplo 2: La región limitada por la curva [pic]el origen , la recta [pic]el eje [pic]rota
alrededor del eje [pic]. Encontrar el volumen del sólido obtenido.
[pic]

Los elementos que van a llevar a la expresión del volumen son perpendiculares al eje [pic].
Al rotar sevan a obtener discos cuyo volumen es [pic]para [pic]con lo cual [pic]
[pic]

MÉTODO DE ARANDELAS:
Cuando se va a rotar una región limitada por dos curvas el sólido de revolución es hueco por dentro, las tajadas perpendiculares al eje de rotación son ahora arandelas o anillos.
Supongamos que tenemos dos curvas cuyas ecuaciones son [pic]y [pic]tal que las abscisas de sus puntos de intersecciónson [pic]y [pic]y que [pic]para [pic]; la región limitada por las dos curvas va a rotar alrededor del eje [pic]. Las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son anillos acotados por dos círculos; cada anillo tiene un radio exterior [pic]y un radio interior [pic], por lo tanto el área de la sección transversal es
A(x)= [pic]
y el volumen de cada sección transversal es [pic]conlo cual el volumen [pic]
[pic]
Note que el radio exterior dado por la curva [pic]es mayor que el radio interior dado por [pic]y que la integral planteada proviene de una resta de volúmenes y no del volumen de una resta

Ejemplo 3: Encontrar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por [pic]y
[pic]alrededor del eje [pic]
[pic]
Radio exterior va a estar dado por la curva[pic]( que es la mayor en ordenada )
Radio interior por la curva [pic]( que es la mayor en ordenada )
[pic](unidades cúbicas)
Ejemplo 4:Encontrar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por las curvas
[pic]y [pic]alrededor: [pic]del eje [pic][pic]alrededor de la recta [pic]
Las curvas son las mismas del ejemplo anterior.
Las secciones perpendiculares al eje de rotación sonarandelas pero de ancho [pic]
[pic]El radio exterior corresponde a la mayor abscisa que es la de la curva [pic]y como es positiva [pic]Por lo tanto el radio interior corresponde a la curva cuyas abscisas son menores en el intervalo. [pic]El volumen de un anillo o arandela será [pic]
Como los puntos de intersección de las dos curvas son (0,0) y (1,1), los límites de integración en este caso soniguales en [pic]o en [pic].
[pic]
[pic]La curva que tiene mayor abscisa es la que determina la parte exterior del sólido y sigue siendo [pic]pero el radio ahora es la distancia al eje de rotación [pic]
La parte interior la determina la que tiene menor abscisa, siendo la distancia al eje de
revolución
[pic]y [pic]
MÉTODO DE CORTEZAS Ó CAPAS CILÍNDRICAS:
Supongamos que se quiere rotar la región...