Método simplex

EL METODO SIMPLEX PARA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig, consiste en un algoritmo iterativo que secuencialmente a través de iteraciones se va aproximando al óptimo del problema de Programación Lineal. Se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o másvariables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex.Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el métodoconsiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo enel vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta. FORMA ESTÁNDAR DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEALConsideremos un modelo de Programación Lineal en su forma estándar, que denotaremos en lo que sigue por: * Min          c1x1  + c2x2  + ... + cnxn * s.a            a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 *                 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 *                ...          ...                  ... *                 am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm *                 xi >=  0,   i = 1, 2, ..., n    y    m <= n * * Matricialmente escrito como:Min    cTx
s.a      Ax = b
           x >=  0EJEMPLO 1 |
Aplicar el Método SIMPLEX para resolver el siguiente problema: 
Maximizar | Z= f(x,y)= 3x + 2y |
sujeto a: | 2x +y 18 |
  | 2x + 3y  42 |
  | 3x + y 24 |
  | x0 , y 0 |
Se consideran las siguientes fases:
1. Convertir las desigualdades en igualdades
Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 
2x + y + h = 18 |
2x + 3y + s = 42 |
3x +y + d = 24 |
2. Igualar la función objetivo a cero- 3x - 2y + Z = 0
3. Escribir la tabla inicial simplex
En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: 
Tabla I. Iteración nº 1  |
Base | Variable de decisión | Variable de holgura | Valores solución |
  | x | Y | h | s| d |   |
H | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 18 |
S | 2 | 3 | 0 | 1 | 0 | 42 |
D | 3 | 1 | 0 | 0 | 1 | 24 |
Z | -3 | -2 | 0 | 0 | 0 | 0 |

4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base
A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos lavariable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto).
En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3.
Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.
Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el finaldel proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color azulado).
 
B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote,...