Métodos Numéricos

M´todos Num´ricos en Ingenier´ Mec´nica
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e
ıa
a

Curso 2010/2011

1

Tema 1: Soluci´n de ecuaciones no lineales
o
Contenidos
1. Introducci´n: Plantear un problema que se resolver´ aplicando los distintos m´todos. Separaci´n de ra´
o
a
e
o
ıces.
2. M´todo de la bisecci´n.
e
o
3. M´todos de Newton-Raphson y de la secante
e
Logros
El alumno es capaz de separar las ra´
ıcesde una ecuaci´n no lineal de una variable.
o
El alumno es capaz de aplicar el m´todo de la bisecci´n y acotar el error cometido.
e
o
El alumno sabe elegir el punto inicial adecuado sobre el que aplicar el m´todo de Newton.
e
El alumno interpreta geom´tricamente los m´todos de la bisecci´n, de Newton y de la secante.
e
e
o
Bibliograf´
ıa
Faires, J.D., Burden,R.(2004). M´todosNum´ricos. Cap´
e
e
ıtulo 2: Secciones 2.1, 2.2, 2.3 y 2.4.
Mathews, J.H., Fink, K.D. (2000). M´todos num´ricos con MATLAB. Cap´
e
e
ıtulo 2: Secciones 2.2 y 2.4.
Quintela, P. (2001). M´todos num´ricos en Ingenier´a. Cap´
e
e
ı
ıtulo 2: Secciones 2.2, 2.4 y 2.5.

Problemas
Separaci´n de ra´
o
ıces

1. Prueba que las siguientes ecuaciones tienen por lo menos una soluci´n en los intervalosdados.
o
a)

(x − 2)2 − ln x = 0, intervalos [1, 2] y [e, 4].

b ) 2x cos(2x) − (x − 2)2 = 0, intervalos [2, 3] y [3, 4].
2. Halla intervalos de longitud uno que contengan las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a)

4x2 − ex = 0

b ) x3 − 2x2 − 4x + 3 = 0
c)

ex − cos x = 3

M´todo de la bisecci´n
e
o

3. Sea f (x) = (x + 2)(x + 1)2 x(x − 1)3(x − 2). ¿A qu´ cero de fconverge el m´todo de bisecci´n en los siguientes
e
e
o
intervalos?
a) [−1.5, 2.5]
b) [−0.5, 2.4]
c) [−0.5, 3]
d) [−3, −0.5]

4. ¿Qu´ ocurrir´ si usamos el m´todo de la bisecci´n con f (x) =
e
a
e
o
a) el intervalo [3, 7]?

1
en
x−2

b)

el intervalo [1, 7]?

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e
e
ıa
a

Curso 2010/2011

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5. Dada la ecuaci´n x3 − x − 1 = 0,se pide:
o
a)

Comprobar que tiene una unica ra´ real.
´
ız

b ) Determinar un intervalo de longitud 1 que la contenga.
c)

Obtener una cota del n´mero de iteraciones necesarias para alcanzar una soluci´n con un error inferior a
u
o
10−4 si utilizamos el m´todo de la bisecci´n.
e
o

Los m´todos de Newton-Raphson y de la secante
e

6. Sea f (x) = −x3 − cos x y p0 = −1. Apliqueel m´todo de Newton-Raphson para encontrar p2. ¿Podr´
e
ıamos
utilizar p0 = 0?
7. Sean f (x) = −x3 − cos x, p0 = −1 y p1 = 0. Obtenga p3 aplicando del m´todo de la secante.
e
8. ¿C´mo se puede usar el m´todo de Newton-Raphson para aproximar la ra´ quinta de un n´mero? Comenzando
o
ız
u
√e
con x0 = 2, aproxime 5 33 mediante tres iteraciones.
9.

a)

Comparar las interpretacionesgeom´tricas de los m´todos de Newton-Raphson y de la secante.
e
e

b ) Plantear el esquema que permite aproximar la ra´ de f (x) = ex − 2 + sen(2x) en el intervalo [0, 1] si se
ız
aplica:
1)
2)

El m´todo de la secante con datos iniciales p0 = 0 y p1 = 1. Calcular p2 .
e
El m´todo de Newton-Raphson con dato inicial p0 = 0.5. Calcular p1 .
e

10. Dada la ecuaci´n ln x − x + 2 = 0, sepide:
o
a)

Determinar el n´mero de soluciones reales de la ecuaci´n y separarlas.
u
o

b ) Escogiendo un valor inicial suficientemente pr´ximo a la soluci´n calcula las dos primeras iteraciones del
o
o
m´todo de Newton-Raphson para aproximar la mayor de las ra´
e
ıces.
11. Se considera la regi´n R del primer cuadrante acotada por la gr´fica de y = cos x, entre 0 y
o
a
a)

π
.
2¿Por qu´ punto (a, cos a) debe pasar una recta de la forma y = mx para que divida R en dos regiones con
e
igual ´rea? Escribir la ecuaci´n f (x) = 0 que tiene al valor a por ra´
a
o
ız.

b ) Formular el m´todo de Newton-Raphson apropiado para aproximar el valor a y tomando como dato inicial
e
p0 = 1, calcular dos iteraciones.

Aplicaciones

12. ¿Qu´ porci´n de una esfera de radio...