Métodos númericos

MÉTODOS NUMÉRICOS

PRESENTAMOS:
MÉTODO DE BISECCIÓN

MÉTODO NEWTON-RAPSHON

MÉTODO DE LA SECANTE

MÉTODO DE LA REGLA FALSA

MÉTODO DE BISECCIÓN

• Método que requiere de un intervalo el cual contenga la raíz, esto es, que necesita dos valores iniciales que estén cada uno a un lado de la raíz. Para encontrar un intervalo que tenga un cambio de signo al evaluar a una función, sedivide cada intervalo creado en dos sub-intervalo, se evalúa cada uno del sub-intervalo para encontrar el cambio de signo. Conforme con el proceso se repite los sub-intervalos se hacen más pequeños y la aproximación a la raíz mejora.

PASOS PARA SOLUCIÓN
• 1.- Se escogen los valores iniciales del intervalo [���� , ���� ], de tal forma tal que la función cambie de signo sobre el intervalo, o lo quees lo mismo: • • ��(���� )��(���� ) < 0

2.- Encontrar la primera aproximación a la raíz. • ���� = ���� + ���� /2

•

•
• • •

3.- Determinar el sub-intervalo en el que esta la raíz:
Si ��(���� )��(���� ) < 0 Entonces la raíz está en el sub-intervalo [���� , ���� ], ���� = ���� Si �� ���� �� ���� > 0 Entonces la raíz está en el sub-intervalo [���� , ���� ], ���� = ���� Si �� ���� ������ = 0 Entonces la raíz está en ����

• • • •

4.- Calcular una nueva aproximación de la Raíz • ���� = ���� + ���� /2

5.- Evaluar el error relativo aproximado: ���� = (��������������������ó�� ������������ − ��������������������ó�� ������������/��������������������ó�� ������������)100 • Si ���� = �� terminar de lo contrario hacer paso 3.

EJEMPLO:
• Aproximar la raíz de �� �� = �� −�� - ln xSolución: Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de �� �� se localiza en el intervalo [1,1.5]. Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos checar que �� 1 y �� 1.5 tengan signos opuestos. En efecto, tenemos que: �� 1 = �� −1 - ln 1 = �� −1 > 0 Mientras que �� 1.5 = �� −1.5 - ln (1.5)=-0.18233 < 0

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MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON
• El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominadopunto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho esto, el métodolinealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.

• Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimospara cada número natural i
����+�� = ���� − ��(���� )/��′(���� )

• Donde f ' denota la derivada de f. • Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita cognoscible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método deNewton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.

GRÁFICA DEL MÉTODO NEWTON-RAPSHON

EJEMPLO
• Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de �� �� = �� −�� - ln x , comenzando con ���� = 0 Solución En este caso, tenemos que: �� ′ �� = −�� −�� − ��
1

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De aquí tenemos que: ����+1 = ���� −
�� −���� −ln ���� −�� −���� − �� ��
1

=

��...