Números amigos

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NUMEROS AMIGOS
Dos números amigos son dos enteros positivos a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b, y b es la suma de los divisores propios de a.(la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).
Un ejemplo es el par (220, 284), ya que:
• Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11,20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284.
• Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.
Para los pitagóricos los números amigos tenían muchaspropiedades místicas.
Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos: si
p = 3 × 2n-1 - 1,
q = 3× 2n - 1,
r = 9 × 22n-1 - 1,
donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces
2npq y 2nr son un par de números amigos.
Esta fórmula genera los pares(220, 284), (1184, 1210), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056). El par (6232, 6368) también es de números amigos, pero no se puede hallar por la fórmula anterior.Los números amigos han sido estudiados por Mas Lama al-Mayriti (muerto en 1007), Abu Mansur Tahir al-Bagdadí (980-1037), Pierre de Fermat (1601-1665), René Descartes(1596-1650), a quien se atribuye a veces la fórmula de Tabit, C. Rudolphus y otros. La fórmula de Tabit fue generalizada por Euler.
En la Edad Media, existió la creencia deque si se daba de comer a dos personas (al mismo tiempo pero no en el mismo lugar) sendos alimentos que contenían una inscripción 220 para uno y de 284 para el otro,entonces se volvían amigos por arte de magia.
Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe el nombre de número perfecto.
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