Números Reales

Tema 1. Los n´meros reales.
u
Asignatura: C´lculo Infinitesimal I
a
Grado en Matem´ticas
a

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Indice
1. Introducci´n axiom´tica de los n´ meros reales.
o
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u

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2. Propiedades de los n´ meros reales
u

3

3. Representaci´n geom´trica de los n´ meros naturales, enteros y racionales.
o
e
u

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4. El axioma de completitud. Supremos e ´
ınfimos

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5. La propiedadarquimediana y consecuencias

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6. Potencias y ra´
ıces

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7. Complementos
7.1. Conjuntos finitos, n´meros naturales y sucesiones
u
7.2. ¿Existen los n´meros reales? . . . . . . . . . . . .
u
7.3. Algunas nociones de topolog´ . . . . . . . . . . .
ıa
7.4. La recta num´rica extendida . . . . . . . . . . . .
e

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8. Hoja de problemas

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El conjunto de los n´meros reales no es un objeto matem´tico tan sencillo como en principio
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se puede pensar. La representaci´n decimal que usamoss´lo tiene 300 a˜os de antig¨edad y la
o
o
n
u
formulaci´n abstracta que presentamos en este tema es de finales del siglo XIX, lo que contrasta
o
con otros conceptos que parecen m´s complicados, como derivadas e integrales, que en realidad
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fueron desarrollados mucho antes.
Ser´ razonable comenzar el estudio de los n´meros reales por los n´meros naturales pues ´stos
ıa
u
u
e
son laclase m´s elemental de n´meros que existen. Los n´meros naturales admiten una formulaci´n
a
u
u
o
axiom´tica simple y a partir de ellos se construye el anillo de los n´meros enteros y el cuerpo de
a
u
los n´meros racionales. Finalmente, con algo m´s de trabajo, se llega al conjunto de los n´meros
u
a
u
reales. El problema de este camino constructivo de los n´meros reales es queprecisa de demasiado
u
tiempo para su desarrollo completo, aunque desde luego representa un modo bastante intuitivo
y ordenado de presentar los n´meros reales. La forma que hemos elegido aqu´ la presentaci´n
u
ı,
o
axiom´tica, es mucho m´s efectiva desde la perspectiva temporal lo cual permite destinar m´s
a
a
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tiempo a los dem´s contenidos fundamentales del curso.
a
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1.Introducci´n axiom´tica de los n´ meros reales.
o
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u

Existe un conjunto de n´meros que denotamos por R y que llamaremos conjunto de los n´meros
u
u
reales, sobre el cual hay definidas dos operaciones que llamamos suma, denotada por +, y multiplicaci´n o producto, denotada por ·, que cumplen las siguientes propiedades (llamadas axiomas
o
de cuerpo):
La suma es conmutativa: x + y = y + x para todopar de n´meros reales x, y.
u
La suma es asociativa: x + (y + z) = (x + y) + z para toda terna de n´meros reales x, y, z.
u
Elemento neutro para la suma: existe un n´mero que denotamos por 0 que cumple lo siguiente,
u
x + 0 = x para todo x ∈ R.
Elemento opuesto para la suma: dado un n´mero real x, existe otro n´mero que denotaremos
u
u
por −x tal que x + (−x) = 0.
La multiplicaci´n esconmutativa: x · y = y · x para todo par de n´meros reales x, y.
o
u
La multiplicaci´n es asociativa: x · (y · z) = (x · y) · z para toda terna de n´meros reales x, y, z.
o
u
Elemento neutro para el producto: existe un n´mero que denotamos por 1, que es distinto
u
de 0, que cumple lo siguiente: x · 1 = x para todo x ∈ R.
Elemento opuesto o inverso para el producto: dado un n´mero real xdistinto de 0, existe
u
−1
−1
otro n´mero que denotaremos por x tal que x · x = 1. El inverso para la multiplicaci´n
u
o
tambi´n se denota por 1/x.
e
Propiedad distributiva: x · (y + z) = x · y + x · z para toda terna de n´meros reales x, y, z.
u
Usualmente el s´
ımbolo · es eliminado de la escritura, de modo que pondremos xy para denotar
el producto de x por y. Esto es
xy := x · y....