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UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO ANZOÁTEGUI
ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE COMPUTACION Y SISTEMAS
MODELOS DE OPERACIONES I

PROGRAMACIÓN
NO LINEAL


Barcelona, 30 Marzo de 2011
Programación No Lineal
Un fundamento muy importante de la programación lineal, es que todas sus funciones (objetivos y restricciones) son lineales, sin embargo existen muchosproblemas en la empresa y en la economía que contienen en funciones de las relaciones matemáticas. Siendo aquí donde entra en juego el papel de la programación no lineal.
Cuando no se cumple uno o más fundamentos de la programación lineal es cuando se aplican los modelos matemáticos que proporciona la programación no lineal.
Los métodos de utilización clásica son utilizados usualmente en labúsqueda de óptimas funciones continuas y diferenciales. Estos métodos son analíticos y empleados como técnicas de cálculo diferencial, en la localización de puntos óptimos.
Optimizar: es la acción de obtener el mejor resultado bajo circunstancias dadas. En el diseño, construcción y mantenimiento de cualquier sistema, deben tomarse muchas decisiones, técnicas gerenciales en diferentes etapas. Lameta final de tales decisiones es minimizar el esfuerzo requerido o maximizar el beneficio deseado.

Método de Optimización Clásica (analítico)
Son utilizados usualmente en la búsqueda de puntos óptimos en funciones continuas y diferenciables. Estos métodos son analíticos y emplean como técnica el cálculo diferencial en la localización de puntos óptimos

Presentación de un problema deOptimización
Z = f(x) Función Objetivo
X = { x1, x2, … xn } Vector solución
s.a.
g1(x) = b1
g2(x) = b2 Restricciones de Igualdad
:
gn(x) = bn

h1(x) ≤ b1
h2(x) ≤ b2 Restricciones de Desigualdad
:
hn(x) ≤ bk

Combinación Lineal
Dado x e y (variables);
Z = ax + by (a y b £ R)
Es una combinación lineal de x e y
Ejemplo de un problema de Programación NoLineal es el siguiente:
Z = f(x) = x1 – x2
s.a.
x1 + x2 ≤ 3
x12 + 2x2 ≤ 4
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Función Cóncava
Es una función que siempre al unir dos puntos con una recta, la recta siempre queda por debajo de la función.
Es cuando la segunda derivada es menor que “0” cero.

Función Convexa
Es una función convexa cuando al unir dos puntos con una recta, la recta siempre queda por encima dela función.

Optimización No-Restringida
Condiciones necesarias y suficientes para la localización de estratos:
1) En una función f(x) de varias variables una condición necesaria que f(x) tenga un optimo local es que la primera derivada con respecto a cada una de las variables sea igual a “0” cero.

Df(x)
= 0
Df(xi)

2) Una condición suficiente para que una función f(x)con la primera y segunda derivada continua sea un mínimo relativo en x0, si se cumple que la segunda derivada parcial con respecto a cada una de las variables sea igual a cero “0”.

Df2(x)
= 0
Df(x2i)

Teorema: si en el punto X0 de f(x) las primeras n-1 derivadas parciales se anulan y la enésima derivada es distinta de cero, entonces ocurre que:
1- Un punto de inflexión si nes impar.
2- Un extremo si n es par
2.1- Extremo máximo si la enésima derivada evaluada en el punto es menor que cero “0” (max).
2.2- Si la enésima derivada evaluada en el punto es mayor que cero “0” (min)

Optimización Clásica con Restricción
1er Algoritmo. Método de Multiplicadores de Langrange para todas las restricciones de igualdad.
Dado
Max Z = f(x)
s.a.
gi(xi) = bjAplicamos algoritmo
Paso 1
Formar el langrangeano: se forma una nueva función llamada langrangeano, esto corresponde una nueva variable denotada “λ” landa y se llama multiplicador de Langrange, viene dada por la forma:
F(x,λ) = f(x) + λ ( b – g(x))

Paso 2
Derivamos parcialmente al langrangeano con respecto a xi y λ (landa) e igualamos a cero.

Paso 3
Se encuentran los valores de x y de λ...
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