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Capítulo 4 Vectores en el plano
4.1 Puntos
R: es el conjunto de los números reales. Dada una recta con un punto origen (O) y un segmento unidad (OU) se establece una correspondencia biunívoca entre punto y número. R2 = RxR = {(x, y)/ x ∈ R, y ∈ R}: es el conjunto de pares ordenados de números reales. Dados unos ejes cartesianos (dos rectas con distinta dirección) y unas unidades de medida encada eje, se estable una correspondencia biunívoca entre puntos del plano y pares (x, y) de números reales. Para problemas de distancias y ángulos se utilizan ejes ortogonales y con la misma escala (se denominan ortonormales), como se observa en la figura siguiente.

Figura 4.1. Puntos en el plano y puntos en el plano con un sistema de ejes coordenados

Para indicar las coordenadas de un punto A,se escribe, A(x, y) o A = (x, y).

4.2 Vectores
4.2.1 Vectores de R2. Su representación gráfica: vectores geométricos.
Un par (x, y) de números reales también se puede asociar con un desplazamiento o una traslación. Por ejemplo, consideremos una particula que se mueve de un punto A del plano a otro punto, B, sobre una recta; si la particula se desplaza dos unidades hacia la derecha y unaunidad hacia arriba, entonces este desplazamiento se puede describir mediante el par ordenado (2, 1). Tal par se denomina vector de R2. Un vector de R2 se representa en el plano como una flecha (segmento orientado) y significa: una traslación de x unidades en la dirección del eje X, e y unidades en dirección del eje Y, por lo puede ponerse en cualquier punto del plano (origen del vector). Esta flecha sedenomina vector geométrico o vector libre. Vector fijo es un representante del vector (x, y) con origen en un punto y extremo en otro punto. El representante que tiene por origen el de coordenadas se denomina vector de posición del punto que es extremo del mismo. En la siguiente imagen, los vectores A B , C D , O P , son vectores fijos representantes del vector libre K ; el vector O P , es larepresentación ordinaria y a es, a su vez, el vector de posición del punto P , que tiene por coordenadas (x, y). 41

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Vectores en el plano

Figura 4.2. Representantes de un vector libre

Los puntos los indicamos con letras mayúsculas seguidas de las coordenadas: A(x, y), o bien, A = (x, y). Los vectores, con letras minúsculas con una flecha encima de la letra, seguidas de las componentes: K =(x, y), o también, K (x, y). a a Vector dado por dos puntos: Si A(x1, y1) y B(x2, y2), el vector K , que tiene por representante el A B , tiene por compoa nentes:

K = (x, y) = a

A B = (x2 − x1, y2 − y1)

Figura 4.3. Vector dado por dos puntos

Si el vector K = (x, y), tiene por punto inicial A(x1, y1), el punto final B(x2, y2) viene dado a por: B = A + K = (x1 + x, y1 + y) a Ejemplo 4.1.a) Halla el vector que tiene por origen A(3, − 1) y por extremo B(2, 4) b) Halla las coordenadas del punto B, extremo del vector K = ( − 3, 4), que tiene por origen el a punto A(1, 2). B = A + K = (1, 2) + ( − 3, 4) = (1 − 3, 2 + 4) = ( − 2, 6) a Un vector geométrico se caracteriza por: • Módulo. Es la longitud del vector, que indicamos como |a |. Si K = (x, y), el módulo de K : K a a 2 2 |a | = +x + y . Basta aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo de construcción del K vector. Dirección. La da el ángulo α que forma el vector con el semieje OX positivo. El ángulo verifica: 0◦ α < 360◦ (o bien, en radianes: 0 α < 2π) Sentido. Lo indica la punta de flecha. Una dirección tiene dos sentidos, uno dado por el ángulo α, y otro, por el ángulo 180◦ + α.

K = (2 − 3, 4 − ( − 1)) = ( − 1, 5) a• •

4.2 Vectores

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Figura 4.4. Dirección y sentido

4.2.2 Suma y resta de vectores
Suma y resta de vectores: En R2 definimos la suma de vectores. a b Denotemos por K , K , K ∈ R2 y α, β ∈ R; K = (x1, y1), K = (x2, y2). a b c Suma de vectores: K + K = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) a b Propiedades: 1. Cerradura: K + K ∈ R2 a b 2. Conmutativa: K + K = K + K a b b a

K...
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