nada

612 / Espacios vectoriales complejos

NUMEROS
COMPLEJOS

Como Xl ~ 0 para todo niunero real x, la ecuaci6n
x 2 = -I
no tiene soluciones reales. Para manejar este problema, los matematicos del siglo
XVIII introdujeron el numero "imaginario"

i = v=1
que se supone tiene la propiedad

pero que de otra forma podia considerarse como un niunero real. Expresiones de]a
forma
a + bi
dondea y b son niuneros reales reciben el nombre de "niuneros complejos", los
cuales se operan segfuI las reglas normales de la aritmetica, con la propiedad
adicional de que i 2 = - 1.
A principios de siglo XIX se aceptaba que un niunero complejo
a

+ bi

se considerara como otro simbolo para el par ordenado
(a, b)

de niuneros reales y que las operaciones de adici6n, sustracci6n,multiplicaci6n y divi·
si6n se definieran sobre estos pares ordenados de modo que se cumplieran las leyes conocidas de la aritmetica y aderruis P = - 1. Este enfoque es el que se seguini en el
texto.

Definicion. Un numero complejo es un par ordenado de niuneros reales,
denotado por (a, b) 0 a + bi.
Ejemplo 1 A continuaci6n se presentan algunos ejemplos de niuneros cornplejos
en ambas notaciones:Par ordenado
(3,4)
(-1 , 2)

Notacion equivalente
3 + 4i
-1 + 2i

(0, 1)

0+ i

(2,0)

2 + Oi

(4, -2)

4 + (-2)i

Para facilitar las cosas, los tres Ultimos niuneros complejos en general se abrevia·
ran como

10.1 Numeros complejos

2 + Oi = 2,

0+ i = i,

4

+ (-

2)i = 4 - 2i

I 613

~

Geometricamente, un nfunero complejo se puede considerar como un puntoo un vector en el plano lJI (figura 1).
y

y

b

a
-----i+ bi

x

x

a

Figura 1

Un nfunero complejo se puede considerar como un punto

0

un vector.

Ejemplo 2 En la figura 2a algunos numeros complejos se muestran como puntos y
en la figura 2b, como vectores. ~
-4 + 3i

y

,.

4 + 3i

------

1t" - - - - - -

I
I
I
I

-4 + 3i

4 + 3,

x

x

II

I
I

__ ---------------e

-4 - 3i

Figura 2

ELPLANO

COMPLEJO

4 - 3,

-4 - 3,

4 - 3i

a)

b)

Algunas veces es conveniente usar una sola letra, como z, para denotar un numero
complejo. Asi, se podria escribir
z

= a + bi

El nfunero real a se denominaparte real de z y el nfunero real b, parte imaginaria
de z . Estos nfuneros se denotan por Re(z) e Im(z) ,respectivamente. Por tanto,

Re(4-3i) = 4

e

Im(4 -3i)= -3

Cuando los nfuneros complejos se representan geometricamente en, un
sistema de coordenadas lJI, el eje x, el eje y y el plano se denominan eje rear, eje
imaginario y plano complejo, respectivamente (figura 3).

614 / Espacios vectoriales complejos
Eje imaginario

Eje real
a

(Parte real de z)

Figura 3

OPERACIONESCON NUMEROS
COMPLEJOS

Asi como se define que dos vectores en R2 son iguaJes si tienen las mismas COffiponentes, tambien dos nfuneros complejos son iguaJes si tanto sus partes Teales
como sus partes imaginarias son iguales:
Definicion. Dos nfuneros complejos a + bi y c + di son iguales, 10 que se escribe como
a + bi = c + di,

si a = c y b = d.
Si b = 0, entonces el nfunero complejo a + bise reduce a a + Oi, que se
escribe simplemente como a. Asi, para cuaJquier numero real a,
a= a

+ Oi

de modo que los numeros reaJes se pueden considerar como numeros complejos
cuya parte imaginaria es cero. Geometricamente, los nlimeros reales corresponden
a puntos sobre el eje real. Si se tiene a = 0, entonces a + bi se reduce a 0 + hi, que
en generaJ se escribe como bi . Estos nfuneroscomplejos, que corresponden a
puntos sobre el eje imaginario, se denominan numeros imaginarios puros.
Asi como la adici6n de vectores en R2 se reaJiza sumando las componentes
correspondientes de los vectores, tambien la adici6n de nlimeros complejos se
realiza sumando las partes y las imaginarias:

I

(a

+ bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

I

(1)

Las operaciones de...