Nautica

Tema 5
Integración

Matemáticas I – Prof. Aurelio Fernández Matemá Ferná

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Cuando estudiamos cálculo diferencial, tenemos una función f(x) y queremos obtener otra función, f’(x). Ahora queremos partir de f’(x) y obtener la función f(x). Para ello recurriremos al concepto de integral indefinida. El proceso de integración o antiderivación es muy útil en economía ya que refleja la relaciónentre stock y flujos (Ej. Inversión y stock de capital) y conceptos marginales y totales (costes marginales y totales). Dada la función f(x)=x2, sabemos por las reglas de derivación que f’(x) = 2x. Por tanto, sabiendo que la derivada de una función es f’(x)=2x, uno podría esperar, haciendo el razonamiento inverso que la función que tiene esta derivada es f(x) =x2. Sin embargo, para cualquierconstante k, la función f(x) = x2 +k, tiene la misma derivada. Con ello queda claro que no podemos recuperar completamente la forma de la función original sabiendo solamente su derivada. En general, dado que la derivada de una constante es cero, podemos afirmar que si la función f(x) tiene derivada f’(x), entonces cualquier función g(x)=f(x)+k también tiene derivada f’(x).
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Primitiva de una función
A pesar de que el proceso de integración es el inverso a de la derivación, debemos aprender una nueva notación. En lugar de referirnos a la función como f(x) y a su derivada como f’(x), es más común usar F(x) para referirse a la función y f(x) para referirse a su derivada. A la función F(x) la llamamos primitivade la función f(x). Dado que conociendo f(x) sólo podemos recuperar la función hasta una constante arbitraria, decimos que la integral de f(x) es F(x)+k, donde k se denomina constante de integración. Simbólicamente tenemos:

∫ f ( x) dx = F ( x) + k

f(x) se denomina integrando, ya que:
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d F ( x) = f ( x) dx
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Reglas algebraicas deintegración
∫a ∫ [ f ( x ) + g ( x )] dx = ∫ ∫ [ f ( x ) − g ( x )] dx = ∫
Atención!!!!!

f ( x ) dx = a ∫ f ( x ) dx ,

a = constante

f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx

∫ f ( x) g ( x) dx ≠ ∫
∫
f ( x) dx ≠ g ( x)

f ( x) dx

∫ g ( x) dx
∫ f ( x) dx ∫ g ( x) dx
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Tabla deintegrales inmediatas
∫ a dx = a ∫ dx = a x + k ,
a = constante
x n +1 +k, n +1 n ≠ −1

∫x
n

dx =

∫ x dx = ln x + k
∫e
ax

1

dx =

1 ax e +k, a a≠0

∫ sin x dx = − cos x + k
∫ tan x dx = − ln ( cos x ) + k

∫ cos x dx = sin x + k
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Ejemplos
∫ x dx =
3

x4 +k 4
2

 ∫ 15 x dx = 15∫ x dx =15  3
2

 x3  + k  =5 x3 + k 
1

∫(x
5

2 + x 5 ) dx = ∫ x 2 dx + ∫ x5 dx =

x3 x6 x3 x 6 + k1 + + k2 = + + k 3 6 3 6

2 x 3 3 5 ∫ x 3 dx = 5 + k = 5 x 3 + k 3

∫ 10e dx = 10∫ e dx =10 e
x x

x

+k
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Métodos de integración. Cambio de variable o sustitución.
Para resolver integrales que no sean inmediatas, debemosrecurrir a determinados métodos que nos faciliten la tarea. El método más sencillo (y por ello más limitado) es el de cambio de variable. El cambio de variable en una integral indefinida se puede efectuar de dos formas:

1. Cambiando la variable x por una función x= g(t), donde g(t) es una función monótona, continuamente derivable de una nueva variable t.
  ∫ f ( x) dx = dx = g '(t ) dt  =∫ f [ g (t )] g '(t ) dt  x = g (t ) 

2. Cambiando parte del integrando por una nueva variable g(x)=t
  ∫ f [ g ( x)] g '( x ) dx =  g '( x)dx = dt  = ∫ f (t ) dt  g ( x) = t 

En la práctica se combinan ambos métodos, ya que:
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x = g (t ) ⇔ t = g −1 ( x )
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Cambio de variable o sustitución. Procedimiento.
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