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Función continua
En una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no escontinua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

Continuidad de una función en un punto.
Tantocuando h es negativo como cuando es positivo, si h tiende a 0, la tasa de variación también tiende a 0, como se puede comprobar en el siguiente carrusel de imágenes.

Función continua en un punto
Unafunción y = f(x) es continua en un punto x = a de su dominio si el límite de la tasa de variación es cero cuando el incremento de la variable independiente , h, tiende a cero. Es decir :
una funciónes continua en un punto x si siempre que te acercas al punto x mediante unos puntos x_i, se cumple que las imágenes de los x_i se hacercan a la imagen del punto x, es decir, a f(x). También se sueleexpresar esto con la famosa frase "cuando se puede dibujar un trocito de función que contenga a f(x) sin levantar el lápiz del papel" (ya digo que estoy con la continuidad "clásica").

Entonces, sitú quieres saber si una función es continua en un intervalo abierto, cerrado o "semiabierto", sólo tienes que ver que es continua en cada punto de dicho intervalo. La diferencia entre ellos es pequeña.Sabemos que los intervalos abiertos se caracterizan porque los extremos del intervalo no pertenecen al intervalo. Es decir, el (0,2) son los números entre 0 y 2 ambos excluídos. Aquí, entonces, notienes problema para acercarte a cualquier número de dicho intervalo "por exceso" y "por defecto" (es decir, por la derecha y por la izquieda). Por ejemplo, si quieres estudiar la continuidad en el 1,tendría que pasar que las imágenes de 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 ... se acercaran a la imágen del 1, y también las de 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, ... y las de cualquier cosa que se acerque a 1, como...