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Ecuaciones polinómicas 041

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ECUACIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES
Ya hemos estudiado ecuaciones del tipo: a x + b = 0 a ≠ 0 (ecuaciones lineales) a x2 + b x + c = 0 a ≠ 0 (ecuaciones cuadráticas) Estas ecuaciones son casos particulares de ecuaciones de carácter más general, las llamadas ecuaciones polinómicas. Para estudiar estas ecuaciones será necesario introducirpreviamente algunos conceptos.

POLINOMIOS
Llamamos polinomio a toda expresión de la forma an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 donde n ∈ N0 y an , an-1 , ... , a1 , a0 son números reales, que denominamos coeficientes.

El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de polinomio nulo. Si an ≠ 0 , decimos que el polinomio tiene grado n y an es el coeficiente principal. Elcoeficiente a0 recibe el nombre de término independiente. El polinomio nulo carece de grado.

Ejemplo: 4 x5 + 3 x4 - 2 x3 -

1 x + 1 es un polinomio 2
→

Coeficientes

4 , 3 , -2 , 0 , -

1 ,1 2

Grado

→

5

Coeficiente principal

→

4

Término independiente

→

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Es posible asociar a cada polinomio an xn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0 una única función n n-1 p: R → R definida por p(x) = an x + an-1 x + ... + a1 x + a0 , y recíprocamente, a cada función de esta forma es posible asociar un polinomio. Llamamos a la función p(x), función polinómica.
Bajo esta identificación hablamos indistintamente de polinomios o funciones polinómicas.

Operaciones con Polinomios A continuación mostraremos como se puedenrealizar las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios.

Suma: Calculamos la suma de los polinomios p(x) = 3 x2 + 2 x + 1 y q(x) = 5 x3 - 7 x + 8 . Una forma práctica de realizar esta operación es ordenar los polinomios y escribir uno debajo del otro. Si falta algún término intermedio en algún polinomio, lo completamos escribiendo dicho término concoeficiente 0. p(x) = + q(x) = p(x) + q(x) = 5 x3 + 0 x2 - 7 x 5 x3 + 3 x2 - 5 x + 8 + 9 0 x3 + 3 x2 + 2 x + 1

Resta: Calculamos ahora la resta de los polinomios p(x) = x5 + 2 x4 - 7 x3 + 8 y q(x) = x5 + 5 x4 - 4 x2 + 5. Como antes para operar es conveniente ordenar los polinomios y escribir uno debajo del otro. p(x) = – q(x) = p(x) – q(x) = x5 + 5 x4 - 4 x2 +3 +5 - 3 x4 - 7 x3 + 4 x2 x5 + 2 x4 - 7 x3+8

Observemos que obviamos los términos con coeficiente nulo, siempre supondremos que los términos faltantes tienen coeficiente 0. El resultado de la suma o la resta de dos polinomios puede ser el polinomio nulo o tener grado menor o igual que el del polinomio de mayor grado que estamos sumando o restando. grado (p ± q) ≤ máx (grado p , grado q)

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Producto: Para calcular el producto de dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un polinomio por cada uno de los términos del otro y sumamos. Para multiplicar los polinomios p(x) = 7 x3 - 5 x + 2 y q(x) = 2 x2 + 5 x - 1 , una disposición práctica es la siguiente: 7 x3 x 2 x2 -5x +5x +2 -1 +5x -2 + 10 x

- 7 x3 35 x 14 x
5 4

- 10 x

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- 25 x + 4 x2

2

14x5 + 35 x4 - 17 x3 - 21 x2 + 15 x - 2 Observemos que cuando se multiplican dos polinomios no nulos el resultado es un polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores. grado (p . q) = grado p + grado q División: Recordemos que para números enteros podemos realizar el algoritmo de Euclides para la división, así, si queremos dividir 7 por 4 obtenemos

DividendoResto

7 3

4 1

divisor cociente

Se verifica que 7 = 4 . 1 + 3 , y el resto es siempre menor que el divisor. Es posible realizar la división de polinomios en forma análoga a ésta. Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de la división entre a(x) = 8 x4 + 6 x3 - 4 y b(x) = 2 x2 . 8 x4 + 6 x3 - 4 + - 8 x4 0 x4 + 6 x3 - 4 + - 6 x3 0 x3 - 4 cociente: q(x) = 4 x2 + 3 x resto: r(x) = - 4 2 x2 4...