no homogeneas

Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
Consideramos ahora el problema de encontrar la solución general de una ecuación lineal no homogénea
de orden n
yn) +a1(x)yn−1)+···+an−1(x)y0 +an(x)y = f(x)
y llamaremos ecuación homogénea asociada a la ecuación no homogénea dada la que resulta de
sustituir f(x) por cero; esto es,
yn) +a1(x)yn−1) +···+an−1(x)y0 +an(x)y = 0.
Se veráque para resolver una ecuación no homogénea se procederá a calcular la solución general de
su ecuación homogénea.
Teorema 4.1 Supongamos que las funciones a1(x), a2(x),... ,an(x), f(x) soncontinuas en un intervalo
abierto I. Si zp(x) es una solución particular de la ecuación no homogénea e yg(x) es la solución general
de la ecuación homogénea asociada, entonces todas lassoluciones y(x) de la ecuación no homogénea se
pueden expresar en la forma
y(x) = yg(x) +zp(x)
y esta expresión constituye la solución general de la ecuación no homogénea.
MÉTODOS PARA OBTENERUNA SOLUCIÓN PARTICULAR de la ecuación lineal
no homogénea con coeficientes constantes.
-Método de variación de constantes
El método consiste en obtener una solución particular de la ecuación apartir de la solución general
de la ecuación homogénea asociada, dada por
yg (x) = C1y1(x) +C2y2(x)
Para ello las constantes C1, C2 de dicha solución se consideran funciones de x y se tratade determinar
funciones C1 (x), C2 (x) para las que
zp (x) = C1 (x)y1(x) +C2 (x)y2(x)
ea solución de la ecuación completa dada.
La única condición que en definitiva deben cumplir lasfunciones C1 (x) y C2 (x) es que la función
dada en (6) y sus derivadas cumplan la ecuación diferencial (5).
En efecto, de (6) se tiene que
z0
p (x) = C0
1 (x)y1(x) +C1 (x)y0
1(x) +C0
2(x)y2(x) +C2 (x)y0
2(x)
y para simplificar los cálculos y evitar derivadas de segundo orden de las funciones incógnitas C1 (x) y
C2 (x), supondremos que
C0
1 (x)y1(x) +C0
2 (x)y2(x)=0 (7)...