Notacion sigma

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NOTACIÓN SIGMA
El operando matemático que nos permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos está expresado con la letra griega sigma [pic](sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:

|[pic] |

Esto se lee: Sumatoriosobre i, desde m hasta n, de x sub-i.

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:
[pic]

Si queremos expresar la suma de los cinco primeros números naturales podemos hacerlo de esta forma:
[pic]

Algunosejemplos adicionales:
[pic]
Propiedades:
[pic]

Fórmulas Interesantes:
[pic]

TEOREMA DE RIEMANN

En geometría de Riemann, el teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que dado una variedad de Riemann (o una variedad seudoriemanniana) hay una única conexión libre de torsión que preserva el tensor métrico. Tal conexión se llama conexión de Levi-Civita.
Más exactamente:
Sea(M,g) una variedad de Riemann (o variedad seudoriemanniana) entonces hay una conexión única [pic]que satisface las condiciones siguientes:
1. para cualesquiera campos vectoriales X,Y,Z tenemos [pic], donde Xg(Y,Z) denota la derivada de la función g(Y,Z) a lo largo del campo vectorial X.
2. para cualesquiera campos vectoriales X,Y tenemos [pic], donde [X,Y] denota el corchete deLie para los campos vectoriales X,Y.
La prueba técnica siguiente presenta una fórmula para los símbolos de Christoffel de la conexión en un conjunto coordenado local. Para una métrica dada este conjunto de ecuaciones puede llegar a ser algo complicado. Hay métodos más rápidos y más simples de obtener los símbolos de Christoffel para una métrica dada, e.g. con la integral de acción y las ecuacionesasociadas de Euler-Lagrange.
En esta prueba utilizamos la notación de Einstein.
Considérese el conjunto coordinado local [pic]y denotemos por [pic]el campo de los marcos de base.
Los componentes [pic]son números reales del tensor métrico aplicado a una base, es decir
[pic]
Para especificar la conexión es suficiente especificar los símbolos de Christoffel [pic].
Puesto que [pic]son loscampos coordenados vectoriales tenemos que
[pic]
para todos i y j. Por lo tanto la segunda propiedad es equivalente a
[pic]lo cuál es equivalente a [pic]para todos los i, j y k.
La primera propiedad de la conexión de Levi-Civita (arriba) entonces es equivalente a
[pic].
Esto da la relación única entre los símbolos de Christoffel (que definen la derivada covariante) y loscomponentes del tensor métrico.
Podemos invertir esta ecuación y expresar los símbolos de Christoffel con un pequeño truco, escribiendo a esta ecuación tres veces con una elección práctica de los índices
[pic]
[pic]
[pic]
Sumando, la mayoría de los términos en el lado derecho se cancelan y nos quedamos con
[pic]
O con el inverso de [pic], definido como (con la deltade Kronecker)
[pic]
escribimos los símbolos de Christoffel como
[pic]
Es decir los símbolos de Christoffel (y por lo tanto la derivada covariante) son determinados totalmente por la métrica, con las ecuaciones que implican la derivada de la métrica.

TEOREMA DE TAYLOR

En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció conmayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de...
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