Notas De Algebra Moderna

´ Indice general
0.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1. Definiciones y resultados generales 1.1. Algunas propiedades de los enteros . 1.1.1. Aritm´tica en Z . . . . . . . . e 1.1.2. El Algoritmo Euclidiano . . . 1.1.3. Los Enteros M´dulo n . . . . o 1.1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . 1.2. Generalidades sobre grupos . . . . . 1.2.1. Ejercicios . . . . .. . . . . . ´ 1.3. Indice y el Teorema de Lagrange . . . 1.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . 1.4. Subgrupos normales y grupo cociente 1.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . 1.5. Grupos c´ ıclicos . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . 1.6. Los teoremas de isomorfismo . . . . . 1.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . 1.7. Producto directo de grupos . . . . . . 1.7.1.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 11 11 11 15 17 20 21 28 29 34 35 37 38 40 41 45 46 48 51 51 61 62 65 65 70 72

2. Grupos de permutaciones y acciones de grupo 2.1. El grupo de permutaciones y el teorema de Cayley 2.1.1.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Acci´n de un grupo en un conjunto . . . . . . . . o 2.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. p-grupos y los teoremas de Sylow . . . . . . . . . 2.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Grupos de orden pq . . . . . . . . . . . . . . . . . i

´ INDICE GENERAL

II

3. Grupos abelianos finitos y automorfismos degrupos 3.1. Grupos abelianos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Clasificaci´n de grupos de orden ≤ 15 . . . . . . . . . . o 3.2.1. Grupos no abelianos de orden 8 . . . . . . . . . 3.2.2. Grupos no abelianos de orden 12 . . . . . . . . 3.3. Automorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Ejercicios . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 4. Grupos solubles y nilpotentes 4.1. Subgrupos caracter´ ısticos . . 4.2. Grupos nilpotentes . . . . . 4.3. Grupos solubles . . . . . . . 4.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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77 77 84 85 86 88 90 98 99 99 100 103 108

Cap´ ıtulo 1 Definiciones y resultados generales
1.1. Algunas propiedades de los enteros

Es dif´ por no decir imposible1 , encontrar ´reas de las matem´ticas que no ıcil, a a hagan uso de las propiedades aritm´ticas b´sicas de los enteros, la teor´ de e a ıa grupos no es la excepci´n. Con esto en mente, queremos iniciar la discusi´nde o o este trabajo presentando algunas propiedades de los enteros. Antes de iniciar, es importante aclarar aspectos relacionados con la notaci´n y la terminolog´ o ıa que usaremos en la discusi´n. Se usar´n los s´ o a ımbolos usuales de la teor´ ıa de conjuntos para denotar, pertenencia, subconjuntos, complementos, etc. Sin mayor explicaci´n se usar´n algunas propiedades de los n´meros reales yo a u complejos. Los conjuntos de los n´meros naturales, enteros, racionales, reales u y complejos ser´n denotados por N, Z, Q, R y C respectivamente. El s´ a ımbolo ⇒⇐ lo usaremos para expresar que se ha llegado a una contradicci´n en o alg´n argumento. El s´ u ımbolo se usar´ para indicar el fin de una prueba. a

1.1.1.

Aritm´tica en Z e

Es bien sabido que al considerar dos enteros a y...