Notas De Álgebra Moderna

NOTAS DE ÁLGEBRA MODERNA
Introducción a la teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos fue desarrollada por Boole y Cantor a fines del siglo XIX. En
Matemática la palabra conjunto se emplea para designar una colección de objetos
considerada como una sola entidad. Los objetos que contribuyen a la colección se llaman
elementos o miembros del conjunto, y de ellos se dice que pertenecen o queestán
contenidos en el conjunto. A su vez , se dice que el conjunto o está compuesto de sus
elementos.
Usualmente los conjuntos se designan con letras mayúsculas: A, B, C, ... , X, Y, Z; y los
elementos con minúsculas : a, b, c, ... , x, y, z. Utilizamos la notación xÎ S para indicar
que x es un elemento de S. Si x no pertenece a S escribimos xÏS . Cuando conviene , los
conjuntos se designanescribiendo los elementos entre corchetes; por ejemplo, el conjunto
de los enteros positivos pares menores que 10 se expresa simbólicamente {2, 4,6,8 }
mientras que el de todos los enteros positivos se representa con { } 1 , 2 , 3,⋯ ; los tres
puntos significan y así sucesivamente : El método de citar los elementos de un conjunto
entre corchetes se llama frecuentemente la notación en lista .
Elprimer concepto fundamental que relaciona un conjunto con otro es la igualdad de
conjuntos :
Definición de igualdad de conjuntos. Se dice que dos conjuntos A y B son iguales o
idénticos si constan exactamente de los mismos elementos , en cuyo caso escribiremos
A = B . Si uno de los conjuntos contiene algún elemento que no está en el otro , decimos
que los conjuntos son distintos y escribimosA ¹ B .
Definición de subconjunto. Se dice que un conjunto A es subconjunto del conjunto B , y
escribimos A Í B , cuando todo elemento de A pertenece también a B . Decimos también
que A está contenido en B o que B contiene a A . El símbolo Í se utiliza para representar la
relación de inclusión de conjuntos.
La relación A Í B no excluye la posibilidad de que B Í A. En realidad podemos tenerlas
dos relaciones A Í B y B Í A pero esto se presenta tan sólo si A y B tienen los mismos
elementos. En otras palabras, A = B si y sólo si A Í B y B Í A. Si A Í B pero A ¹ B ,
decimos que A es un subconjunto propio de B ; indicamos esto escribiendo A Ì B . La
notación {x xÎS y x satisface P } designará el conjunto de todos los elementos x de S
que satisfacen la propiedad P.
Puede ocurrir queun conjunto no contenga elementos. Un tal conjunto se llama conjunto
vacío , y se representa mediante el símbolo f . Consideraremos el f como subconjunto de
cualquier conjunto. Hay quien imagina un conjunto un conjunto como un recipiente que
contiene ciertos objetos, sus elementos . Entonces el conjunto vacío sería un recipiente
vacío.
Para evitar dificultades y confusiones , debemosdistinguir entre el elemento x y el conjunto
{ x } cuyo único elemento es x .
Uniones, intersecciones y complementos.
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A partir de dos conjuntos dados A y B , siempre podemos formar un nuevo conjunto
llamado unión de A y B. Este nuevo conjunto se representa con el símbolo AÈB y se lee A
unión con B y se define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o
a ambos. Es decir ,AÈB es el conjunto de todos los elementos que pertenecen por lo
menos a uno de los conjuntos A, B.
AÈB
Análogamente, la intersección de A y B se representa con el símbolo AÇB , se lee A
intersección con B y se define como el conjunto de los elementos comunes a A y a B .
AÇB
Si AÇ B =f entonces los conjuntos A y B se llaman disjuntos.
Dados los conjuntos A y B , se define la diferencia A − B (que también se llama
complemento de B relativo a A ) como el conjunto de todos los elementos de A que no
pertenecen a B . Así pues, según la definición A − B = {x xÎA, xÏB }.
Las operaciones de unión e intersección poseen muchas analogías formales con la adición y
multiplicación ordinarias de números reales . Por ejemplo, puesto que no existe cuestión de
orden en las definiciones de...