Nucleo de kernel

5.3 Definición de núcleo o Kernel e imagen de una transformación lineal

5.3 DEFINICIÓN DE NÚCLEO O KERNEL, E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN
LINEAL

Definiciones

• Sean V y W espaciosvectoriales sobre el mismo campo K y T una transformación lineal de V en W. El núcleo o kernel de T es:

N ( T ) ( Ker T ) = { v Î V : T ( v ) = 0 w }

Si [pic]es lineal, se define el núcleoy la imagen de T de la siguiente manera:
[pic]
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen alvector nulo del codominio.
• El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. [pic]dado que T(0V) = 0W
2. Dados [pic]
3. Dados [pic]
Se denomina nulidad ala dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim (Nu (T))
[pic]
O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenesde al menos algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) =dim(Im(T))

• Sea [pic]una transformación lineal de [pic]en [pic]; se define el núcleo de [pic]como
[pic]
Nótese que [pic]es un subespacio de [pic]. Por otro lado, se define la imagen de[pic]como
[pic]Para algún [pic]
[pic]es un subespacio de [pic]. Si [pic]es un subespacio de [pic]y [pic]es un subespacio de [pic], entonces los conjuntos
[pic]
[pic]
Son subespacios de [pic]y[pic]respectivamente. Obsérvese que [pic], e [pic]. La dimensión del espacio imagen [pic]se conoce como el rango de la transformación [pic], y se denota por [pic].

Ejemplos

1.- Si [pic] es laproyección dada por [pic] entonces el núcleo esta dado por: [pic]
Mientras que la imagen es:
[pic]

Vemos en este ejemplo que el núcleo es el complemento directo mientras que la imagen es el...