Numero de oro

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Número áureo

Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media,1 razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griegaφ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:2

También se lo representa con la letra griega Tau (Τ τ),3 por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (Φ,φ) es más común.
Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que poseemuchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como cohetes, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, el caparazón de un caracol, etc.
Asimismo, se atribuye un carácterestético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.
Contenido [ocultar]
1 Definición
2 Historia del número áureo
3 El número áureo en las matemáticas
3.1Fórmula de la relación áurea
3.2 Propiedades y representaciones
3.2.1 Ángulo de oro
3.2.2 Propiedades algebraicas
3.2.3 Representación mediante fracciones continuas
3.2.4 Representación mediante ecuaciones algebraicas
3.2.5 Representación trigonométrica
3.2.6 Representación mediante raíces anidadas
3.2.7 Relación con la serie de Fibonacci
3.3 El número áureo en la geometría
3.3.1 Elrectángulo áureo de Euclides
3.3.2 En el pentagrama
3.3.3 El teorema de Ptolomeo y el pentágono
3.3.4 Relación con los sólidos platónicos
4 El número áureo en la Naturaleza
5 El número áureo en el cuerpo humano y en su salud
6 El número áureo en el arte y en la cultura
7 El número áureo en el misticismo
8 Véase también
9 Referencias
10 Bibliografía
11 Enlaces externos
[editar]DefiniciónNúmeros
γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binario 1,1001111000110111011...
Decimal 1,6180339887498948482...
Hexadecimal 1,9E3779B97F4A7C15F39...
Fracción continua
Algebraico
Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

Para obtener el valor de a partir de esta razón considere lo siguiente:
Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de asea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación son

La solución positiva es el valor del número áureo.
[editar]Historia del número áureo

Existen varios textos que sugieren que el número áureo seencuentra como proporción en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidasdisponibles. Además para que se pueda considerar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio y Álvaro Valarezo concluyen que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.4
El...
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