Numero natural

Número natural


Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para la enumeración.
Contenido
[ocultar]
• 1 Convenios de notación
• 2 Historia
• 3 Construccionesaxiomáticas
o 3.1 Axiomas de Peano
o 3.2 Definición en teoría de conjuntos
• 4 Operaciones con los números naturales
• 5 Propiedades de los números naturales
• 6 Uso de los números naturales
• 7 Véase también
• 8 Referencias
• 9 Bibliografía

[editar]Convenios de notación
Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número quecorresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del autor y la tradición, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:
 Definición sin el cero:

 Definición con el cero:
donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".
Ambas presentaciones son utilizadas en distintas áreas de las matemáticas. Históricamente, el uso del cero comonumeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la invasión musulmana de la Península Ibérica,1 pero no se consideraba un número natural.2
Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina,3 y otras, como la teoría de la computación.4 En particular,el estándar DIN 5473 adopta esta definición.4 Sin embargo, en la actualidad ambos convenios conviven.5
Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, incluyendo el cero en los naturales, a los números naturales sin el cero, o enteros positivos se les denota como:
6
[editar]Historia
Antes de que surgieran los números para la representación decantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C.donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleabansimplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.
Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), quedespués precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia delconjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.
[editar]Construcciones axiomáticas
Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números...