Numero real

Números reales

El conjunto R de los números reales puede introducirse por diversos métodos, teniendo como base la teoría de conjuntos. Podemos clasificarlos en: a) constructivos y b) estructurales.

a) En las teorías constructivas o genéticas, una vez introducido el conjunto de los números naturales, se procede a las sucesivas construcciones de Z (enteros) a partir de N; de Q(racionales) a partir de Z y de R a partir de Q. el pasaje de Q hacia R es el más delicado y puede efectuarse por una gran variedad de procedimientos: secciones, cortaduras, conjuntos adyacentes, sucesiones adyacentes, sucesiones de Cauchy, por nombrar los más conocidos.
Es importante tener presente, que las distintas realizaciones de R conducen a conjuntos distintos; si bien dotados de la mismaestructura algebraica. Esta situación sugiere que en lugar de indagar sobre la naturaleza de los números reales (distinta, en general, para cada construcción), estudiemos las propiedades (estructura) que caracterizan a R. por lo dicho anteriormente, debemos dar una caracterización estructural de R por medio de un sistema de axiomas que nos asegure su unicidad, siendo isomorfas dos realizacionescualesquiera que satisfagan dichos axiomas.
b) En las teorías estructurales o axiomáticas, se introduce el conjunto R, provisto de dos operaciones y una relación de orden satisfaciendo ciertas condiciones, llamadas axiomas del cuerpo de los números reales.
Es interesante observar aquí, que el enfoque genético antes mencionado no es eliminado en las teorías axiomáticas, pues garantiza que existe almenos una realización dentro de la teoría; esto es, nos proporciona un modelo para probar la compatibilidad del sistema axiomático elegido.
De ahora en más, todo lo que nos interesa es que R está estructurado como un cuerpo conmutativo ordenado y completo, cuyo significado comenzaremos a explicar.

Caracterización axiomática de R

Axioma I (de Cuerpo)
R es un conjunto no vacío, se definendos operaciones, adición () y multiplicación (), donde es un cuerpo conmutativo.

Del axioma anterior se desprenden las siguientes condiciones:
C1) (Conmutativa de +)
C2) (Asociativa de +)
C3) (Neutro de +)
C4) (Opuesto de +)
C5) (Conmutativa de )
C6) (Asociativa de )
C7) (Neutro de )
C8) (Inverso de )
C9) (Distributiva)

Observación
En C7 se exige que , que resultaríaimposible demostrar a partir de las restantes condiciones. De hecho, ella se cumplirían en el conjunto con la adición y multiplicación definidas como: 0+0=0 y 0.0=0

Teorema 1: Propiedad cancelativa para la adición
Sean si entonces
Demostración:
Sean
entonces,
(C4)
(C2)
(C4)
(C3)
Observación:
Comoconsecuencia del teorema anterior podemos demostrar que el neutro aditivo es único.
En efecto,
Si es neutro aditivo, entonces (C3)
Si es neutro aditivo, entonces
De donde, . Luego

Teorema 2 y Definición
, denominado diferencia entre y , que se simboliza por , y tal que
Demostración:
(Existencia) Es fácil ver que es la diferencia buscada.
En efecto,
(C4)
(C2)(C4)
(C3)
(Unicidad) Sean y
En consecuencia, implica
Observación:
La suma la simbolizaremos

Teorema 3: Absorción del neutro aditivo
es absorbente para la multiplicación, o sea,
Demostración:
En efecto, puesto que se tiene
(la multiplicación es función)
(C9)
(C3)(teorema 1)
Ejercicios:
Demostrar las proposiciones siguientes utilizando la estructura de cuerpo conmutativo de R y las consecuencias antes demostradas.
Sean
a)
b) Si , entonces
c) si, y sólo si, o
d)
e)

Teorema 4: Propiedad cancelativa para la multiplicación
Sean si y entonces
Demostración
En efecto,
(C8)
(C6)...