Numero e
Páginas: 5 (1082 palabras)
Publicado: 7 de noviembre de 2011
UNIVERSIDAD DEL GOLFO DE MEXICO
CAMPUS MATIAS ROMERO
ORIGEN DEL NUMERO e
1. HISTORIA
2. DEFINICION
3. PROPIEDADES
3.1Cálculo
3.2Desarrollo decimal
3.3Álgebra
3.4Números complejos
4. FUNCION EXPONENCIAL
5. REPRESENTACIONES DE e
6. REFERENCIAS
ALUMNO: YONI ZAMORA VELAZQUEZ
LICENCIATURA EN ADMINISTRACION DE NEGOCIOS
GRUPO: 101
MATERIA: MATEMATICASING. JESUS URDIANA DOMINGUEZ
TITULAR DE LA MATERIA
1. HISTORIA.
Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e para representar la constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella.
Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier. No obstante, esta tabla no contenía el valorde la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se asume que la tabla fue escrita por William Oughtred.
El "descubrimiento" de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,502 = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,254 = 2,4414... En caso de pagos mensuales el monto asciendea 1 UM x = 2,61303...UMs. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de, el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:
Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818...UMs. De aquí proviene ladefinición que se da de e en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital Cy una tasa de interés anual R, proporcionará CeR UM con interés compuesto.
El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una cartade Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue enMechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.
2. DEFINICION.
Ladefinición más común de e es como el valor límite de la serie
que se expande como
Otra definición habitual3 dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación:
que implica
es decir que se define e como el número para el que
o lo que es lo mismo, el número para el que
3. PROPIEDADES.
3.1 Cálculo
La función exponencial f(x) = ex es importante, en parte debido aque es la única función que es su propia derivada y vale 1 para x=0, y por lo tanto su propia primitiva también:
y
Además, e es el límite de la sucesión de término general:
Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:
Como el término de la derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo yhacer el cambio de variable h = 1 / x:
Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando h tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.
3.2 Desarrollo decimal.
El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua...
CAMPUS MATIAS ROMERO
ORIGEN DEL NUMERO e
1. HISTORIA
2. DEFINICION
3. PROPIEDADES
3.1Cálculo
3.2Desarrollo decimal
3.3Álgebra
3.4Números complejos
4. FUNCION EXPONENCIAL
5. REPRESENTACIONES DE e
6. REFERENCIAS
ALUMNO: YONI ZAMORA VELAZQUEZ
LICENCIATURA EN ADMINISTRACION DE NEGOCIOS
GRUPO: 101
MATERIA: MATEMATICASING. JESUS URDIANA DOMINGUEZ
TITULAR DE LA MATERIA
1. HISTORIA.
Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e para representar la constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella.
Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier. No obstante, esta tabla no contenía el valorde la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se asume que la tabla fue escrita por William Oughtred.
El "descubrimiento" de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,502 = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,254 = 2,4414... En caso de pagos mensuales el monto asciendea 1 UM x = 2,61303...UMs. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de, el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:
Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818...UMs. De aquí proviene ladefinición que se da de e en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital Cy una tasa de interés anual R, proporcionará CeR UM con interés compuesto.
El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una cartade Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue enMechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.
2. DEFINICION.
Ladefinición más común de e es como el valor límite de la serie
que se expande como
Otra definición habitual3 dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación:
que implica
es decir que se define e como el número para el que
o lo que es lo mismo, el número para el que
3. PROPIEDADES.
3.1 Cálculo
La función exponencial f(x) = ex es importante, en parte debido aque es la única función que es su propia derivada y vale 1 para x=0, y por lo tanto su propia primitiva también:
y
Además, e es el límite de la sucesión de término general:
Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:
Como el término de la derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo yhacer el cambio de variable h = 1 / x:
Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando h tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.
3.2 Desarrollo decimal.
El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.