Numeros complejos

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Introducción.

Número complejo, expresión de la forma a + b i, en donde a y b son números reales e i es .
Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas.
En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas.
El número i apareceexplícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la teoría cuántica del átomo.
El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión.

¿Que son los números Complejos?
Es un número cuyo cuadrado es negativo. El término número complejo describe la suma de unnúmero real y un número real (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). También cabe mencionar que los números imaginarios extienden el conjunto de los números Reales (se crean hasta el punto en que comienzan a crearse los números complejos). Se expresa de la siguiente manera z = a + b. i . Donde a y b son números reales; i es la unidad imaginaria, definida porlas ecuaciones i = √(-1) ó i^2 = -1.
Un número imaginario es un número complejo cuyo componente imaginario es 0.
Si la parte real es cero
Cada número complejo puede ser escrito como una suma de un número real y un número imaginario. a + b. i.
Tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.
Si a = 0 el número complejo 0+ b. i =b. i .Que es un número imaginario puro y si b = 0 se tiene el numero a + 0. i = a

Sobre el eje de abscisas se representa la parte real a del número complejo y sobre el eje de ordenadas la parte imaginaria b. El número complejo (a, b) queda representado por el punto P(a, b) del plano de coordenadas.
A cada número complejo (a, b) corresponde un punto P que se llama su afijo, y recíprocamente,a cada punto corresponde un número complejo. De este modo queda establecida una aplicación biyectiva entre los puntos del plano y los números complejos.
Si escribimos z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) y consideramos la relación vectorial correspondiente, podemos escribir: z = a + b.i que llamaremos forma binómica del numero complejo z. Cuando aparezca escrito como (a, b) diremos que está en formacartesiana.
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El origen de coordenadas O y el punto P determinan un vector OP que se puede considerar la representación vectorial del número complejo (a, b). La longitud r del vector OP se llama módulo del número complejo a + b.i y su expresión es r = √(a^2+b^2 )
En el mundo de la matemática se utilizan diferentes grupos de números como los números naturales, los enteros, los racionales o losreales.
Forma binómica: tiene solo dos términos.
Los números complejos opuestos son a + bi y -a - bi.
Los números complejos conjugados son z = a+ bi y z = a – bi.
Números Complejos en Forma Binómica
Forma binómica z = a + bi
Operaciones con Números Complejos en Forma Polar
Multiplicación
Se multiplican los módulos
Se suman los argumentos
División
Se dividen los módulos
Se restan losargumentos

Para sumar y restar se siguen las operaciones de números reales y cumplen la propiedad de asociación y conmutativa pero teniendo en cuenta que:
El 0 es el elemento neutro de la suma.
Suma: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d) i.
Ejemplo: (4-2i) + (3+6i) = (4+3) + (-2+6) i = (7+4i)
Resta: (a+b i)-(c+d i) = (a-c) + (b-d) i.
Ejemplo: (9+3 i) - (4+5 i) = (9-4) + (3-5) i = (5-2i)
2Multiplicación: (a+b i) . (c+d i) = (ac-bd) + (ad+bc) i.
Ejemplo: (3+2 i)-(4+1 i) = (3 4 - 2 1) + (3 1 + 2 4) i = (12-2) + (3+8) i = (10 + 11 i)
En la multiplicación también se siguen los pasos de la multiplicación de números reales. Cumple también la propiedad asociativa y conmutativa
El 1...
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