Numeros complejos

Contenido
1 Números Complejos 1.1 Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Problemas diversos sobre números complejos . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4

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CONTENIDO

Capítulo 1 Números Complejos
1.1 Operaciones con números complejos
(a) a(2 + 3i) + b(4 − 5i) = 6 − 2i. a b+1 (b) + = 2. 2−i 1+i (c) (2 + i)a + (1 + 2i)b = 1 − 4i. (d) (3 + 2i)a + (1 +3i)b = 4 − 9i. 2. Calcule (3 + 8i)4 . (1 + i)10 (8 − 2i)10 (b) El conjugado de . (4 + 6i)5 i(2 + 3i)(5 − 2i) (c) El módulo de . (−2 − i) (2 − 3i)2 (d) El módulo de . (8 + 6i)2 (a) El conjugado de 3. Dado (1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 1 − 3i. Hallar x, y suponiendo que son reales. 4. Resolver el sistema, suponiendo que x, y, z, t son reales: (1 + i)x + (1 + 2i)y + (1 + 3i)z + (1 + 4i)t = 1 + 5i; (3 − i)x+ (4 − 2i)y + (1 + i)z + 4it = 2 − i.

1. Encontrar números reales a y b tales que:

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5. Calcular in , donde n es un número entero. 6. Comprobar la identidad x4 + 4 = (x − 1 − i)(x − 1 + i)(x + 1 + i)(x + 1 − i). 7. Realice las siguientes operaciones: (a) (1 + 2i)6 (b) (2 + i)7 + (2 − i)7 (c) (1 + 2i)5 − (1 − 2i)5 8. Realice las operaciones con números complejos y deel resultado en su forma cartesiana. √ 1 (d) (1 + 3i)3 (i) i2 (1 + i)3 . (a) i (e) (1 − i)2 . 3 + 2i 5 − 2i (j) + . 3 1−i (f) (1 − 2i) . 1+i −1 + i (b) 1+i 2+i 4+i (k) (1+i)(1+2i)(1+3i). − . (g) 3 − i 1 + 2i 2 (c) (h) (3 − 4i)3 . (l) (1−i)(1−2i)(1−3i). 1 − 3i 9. Encuentre los módulos y los argumentos de los números de los números complejos: (a) (b) (c) (d) 3i −2 1+i −1 − i (e) (f) (g) (h) 2 + 5i 2− 5i −2 + 5i −2 − 5i (i) ib, b ∈ R. (j) a + ib, a, b ∈ R.

√ 10. Considerando los números complejos z1 = 1 + i y z2 = 1 + i 3, (a) Escriba a z1 y z2 en su forma polar. z2 tanto en su forma polar como en su forma rectangular. (b) Calcule z1 (c) Deducir que ( π ) 1 + √3 ( π ) √3 − 1 cos = √ y sin = √ 12 12 2 2 2 2

1.1 Operaciones con números complejos

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11. Demostrar que ( ( ) ( )) √ √7π 7π (1 + i 3)(1 + i)(cos θ + i sin θ) = 2 2 cos + θ + i sin +θ . 12 12 12. Demuestre que dados z1 , z2 ∈ C se tiene que |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 |. 13. Calcule y grafique todos los valores de las raíces de los siguientes números complejos: √ √ √ (a) 3 1 (d) 6 −8 (g) 3 + 4i √ √ √ (b) 3 i (e) 8 1 (h) 3 −2 + 2i √ √ √ (c) 4 −1 (f) 1 − i (i) 5 −4 + 3i 14. Realiza las siguientes operaciones: 1 + i tanθ 1 − i tan θ a + ib (b) a − ib (1 + 2i)2 − (1 − i)3 (c) (3 + 2i)3 − (2 + i)2 (a) 15. Resuelva las siguientes ecuaciones: (a) |z| − 2z = 3 − 4i (b) |z| + z = 3 + 4i (c) x3 = 2 + 11i, donde z = x + iy con x, y ∈ Z. (d) iz 2 + (1 + 2i)z + 1 = 0 (e) (1 + i)z 2 + 2 + 11i = 0 16. Calcular (1 + i)n , donde n es un entero positivo. (1 − i)n−2 (d) (e) (1 − i)5 − 1 (1 + i)5 + 1 (1 + i)9 (1 − i)7

17. Dadoel numero complejo cos θ + i sin θ y aplicando la fórmula de De Moivre demuestre que: (a) cos(2θ) = cos2 (θ) − sin2 (θ).

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(b) sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ). (c) cos(3θ) = cos3 (θ) − 3 cos(θ) sin2 (θ). (d) sin(3θ) = 3 cos2 (θ) sin(θ) − sin3 (θ). (e) cos(5θ) = 16 cos5 (θ) − 20 cos3 (θ) + 5 cos(θ). (f) sin(5θ) = (16 sin4 (θ) − 20 sin2 (θ) + 5) sin(θ). √ 1 3 18. Sean a, b, c∈ R y ω = − + i . Calcule 2 2 (a + bω + cω 2 )(a + bω 2 + cω). 19. Sean z1 , z2 ∈ C tales que |z1 + z2 | = √ 3 y |z1 | = |z2 | = 1. Calcule |z1 − z2 |.

1.2

Problemas diversos sobre números complejos

1. El presente ejercicio nos dice como podemos representar a los números complejos como un subconjunto de las matrices 2 × 2 con entradas en R. Denotemos por {( ) } a −b C= a, b ∈ R . b a ( ) a−b Sea la función φ : C → C definida por φ(a + ib) = . Demuestre b a que: (a) |z|2 = det(φ(z)). (b) φ(z1 + z2 ) = φ(z1 ) + φ(z2 ). (c) φ(z1 · z2 ) = φ(z1 ) · φ(z2 ). (d) φ es una función biyectiva.1 (e) φ(z −1 ) = φ(z)−1 . (f) φ(z) = φ(z)t . 2. Demuestre que (a) Re(iz) = −Img(z). (b) Re(z) = Img(iz).
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Una función f es biyectiva si y sólo si f es inyectiva y sobreyectiva.

1.2 Problemas...