Numeros Primos

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Teorema.  Hay infinitos números primos. |
 
DEMOSTRACIÓN:
        Por reducción al absurdo. Supóngase, por el contrario, que sólohay un número finito de números primos y supóngase que se denotan como a, b, c, ... , d. Este conjunto puede contener 400 ó 400.000 números primos, pero suponemos que los contiene todos.
       Multiplíquense estos números primos unos por otros y sumemósle 1 al producto para obtener un nuevo número:
N = (a · b · c ·...· d) + 1
Nótese que al tener solamente un número finito de númerospodemos, en efecto, multiplicarlos de esta manera. Un número infinito de números primos no podría haberse multiplicado de dicho modo.
        Obviamente, N es mayor que cualquiera de los números primosindividuales a, b, c, ... , d, y por tanto N es diferente de todos ellos. Puesto que estos números son los únicos números primos existentes, concluimos que N no es un número primo.
        Estosignifica  que N debe ser un número compuesto, y por tanto N tiene un divisor primo. Puesto que hemos supuesto que a, b, c, ... , d, constituyen todos los números primos, este divisor primo de N debeestar en algún lugar entre ellos.
        Dicho de otra manera, N es un múltiplo de uno de los números primos a, b, c, ... , d. Realmente, poco importa de cual de ellos es, pero por razones deconcreción, suponemos que N es un múltiplo de c. Claramente, el producto
a · b · c ·...· d   es también un múltiplo de  c  ya que  c  aparece como uno de los factores. Pero la diferencia entre N y a · b ·c ·...· d será también un múltiplo de c. Pero, por definición, N es exactamente 1 más que este producto, luego la diferencia es 1.
        Por tanto, llegamos a la conclusión de que 1 es múltiplode c (o de cualquier otro número primo que es un factor de N). Esto claramente, es imposible. Por tanto concluimos que hay infinitos números primos. 
 

 
Teorema de los numeros primos |...