Numeros racionales

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Número racional
En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente, de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.
El conjunto de los números racionales se denota por [pic], que significa «cociente» (Quotient en variosidiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.

Construcción de los números racionales
Consideremos las parejas de números enteros [pic]donde[pic].
[pic]denota a [pic]. A [pic]se le llama numerador y a [pic]se le llama denominador
Al conjunto de estos números se le denota por [pic]. Es decir [pic]
En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no alpensamiento o actitud racional.
Definición de suma y multiplicación en Q
Se define la suma [pic]
Se define la multiplicación [pic]
Relaciones de equivalencia y orden en Q
Se define la equivalencia [pic]cuando [pic]
Los racionales positivos son todos los [pic]tales que [pic]
Los racionales negativos son todos los [pic]tales que [pic]
Se define el orden [pic]cuando [pic]
Notación
Losnúmeros de tipo [pic]son denotados por [pic]
Las sumas de tipo [pic]son denotadas por [pic]
[pic]denota a [pic]
Todo número [pic]se denota simplemente por [pic].

Unicidad de un racional
Un número racional SÓLO puede provenir de una SÓLA y UNICA fracción irreducible. En efecto: Supongamos las fracciones [pic] ; [pic]ambas irreducibles.
Supongamos también su igualdad [pic]de donde [pic](1)
Dadaesta igualdad, para cumplirse, ambos miembros han de ser múltiplos de [pic]. Como [pic]no lo es [pic]; por lo mismo [pic].
Sustituyendo en (1)
[pic]
Con lo cual
[pic]

Conclusión.- Para ser iguales las dos fracciones, una ha de ser reducible a la otra y sólo existe esa posibilidad.
Propiedades de los números racionales
El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicacióndefinida de esta manera forman un Cuerpo.
Propiedades de la suma y multiplicación
La suma en Q es conmutativa, esto es: [pic]
La suma en Q es asociativa, esto es: [pic]
La multiplicación en Q es asociativa, esto es: [pic]
La multiplicación se distribuye en la suma, esto es [pic]
Existencia de neutros e inversos
Para cualquier número racional: [pic]se cumple que [pic]entonces [pic]es elneutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.
Para cualquier número racional: [pic]se cumple que [pic]entonces [pic]es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.
Cada número racional: [pic]tiene un inverso aditivo [pic]tal que [pic]
Cada número racional: [pic]con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo [pic]tal que [pic]
Equivalencias notables en Q
[pic]si[pic]y [pic]
[pic]
[pic]
[pic], a y b ≠ 0
[pic], a y b ≠ 0.
Los números enteros en Q
Si p es un número entero entonces existe el número [pic]que equivale a p y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define [pic]
Otras notaciones de números en Q
Fracciones mixtas
Cada número racional [pic]se puede expresar de forma única como [pic]donde
A es un entero no negativo, es decir[pic]
[pic]es un racional irreducible no negativo menor que uno. Se expresa como [pic]
u es una unidad. Es decir [pic]
La notación es muy sencilla, las reglas son
[pic]denota a [pic]
[pic]denota a [pic]
Por ejemplo [pic]
El conjunto de los números decimales en Q
Un número decimal es un número racional de la forma [pic]
[pic]denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir...
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