numeros reales
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Introduccion a la Matematica Universitaria.
520145
Cap´tulo 2. Numeros Reales
ı
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FCFM. UdeC.
1.
IMU. 520145
Numeros Reales.
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Existe un conjunto R cuyos elementos se llaman numeros reales,
´
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dotado de una relacion de igualdad y provisto de dos operaciones
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´
binarias internas, la adicion + y la multiplicacion · , que satisfacen
las siguientes propiedadeso axiomas.
1. Propiedades de la suma
a)
∀x, y ∈ R : x + y = y + x;
b)
∀x, y, z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z ; asociatividad
c)
∃0 ∈ R, ∀x ∈ R : x + 0 = x;
d)
∀x ∈ R, ∃ − x ∈ R : x + (−x) = 0.
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2.
conmutatividad
neutro aditivo
inverso aditivo
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Numeros Reales.
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2. Propiedades del producto
a)
∀x, y ∈ R : xy = yx;
b)
∀x,y, z ∈ R : x(yz) = (xy)z ;
c)
∃ 1 ∈ R, ∀x ∈ R : x · 1 = x;
d)
∀x ∈ R, x = 0 : ∃x−1 ∈ R : x · x−1 = 1; inverso multipl.
e)
∀x, y, z ∈ R : x(y + z) = xy + xz .
conmutatividad
asociatividad
neutro multipl.
distributividad del producto en la suma.
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3.
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Observaciones:
a) Los elementos neutro aditivo 0, neutromultiplicativo 1, inverso
aditivo −x e inverso multiplicativo x−1 , x
= 0, son unicos.
´
b)
x · 0 = 0, ∀x ∈ R.
c)
R con estas operaciones se dice que es un Cuerpo
´
conmutativo, la multiplicacion se escribe x · y = xy .
d) La igualdad tiene las siguientes propiedades:
i) es reflexiva, ∀x
∈ R, x = x.
´
ii) es simetrica, ∀x, y
∈ R, x = y ⇐⇒ y = x.
iii) es transitiva, ∀x, y, zFCFM. UdeC.
∈ R, x = y ∧ y = z ⇐⇒ x = z .
4.
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Numeros Reales.
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Utilizando los axiomas de cuerpo se deducen las reglas
algebraicas que rigen la operatoria con igualdades.
Operatoria algebraica:
∀x, y, z ∈ R
a)
x = y =⇒ x + z = y + z ;
b)
x = y =⇒ xz = yz, z = 0;
c)
xy = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ y = 0;
∀x, y ∈ R existe un unico numero real d tal que
´
´
x+ d = y , se llama diferencia entre y y x, se escribe
´
d = y − x. Ademas existe un un unico numero real z tal que
´
´
y
xz = y , se llama cuociente de y y x, se escribe z = x = yx−1 .
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Definicion.
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5.
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Continuacion operatoria algebraica:
∀x, y ∈ R
a)
−(−x) = x;
b)
(−x)y = −xy ;
c)
(−x)(−y) = xy ;
d)
x= 0 ∧ y = 0 =⇒ (xy)−1 = x−1 y −1 ;
e)
−(x + y) = (−x) + (−y) = −x − y ;
(x + y)(x − y) = x2 − y 2 ;
xu
xu
=
;
g)
yv
yv
x u
vx + yu
h)
+ =
.
y
v
yv
f)
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Orden en R. Para dotar a R de un orden compatible con las
operaciones ya definidas introducimos los llamados axiomas de
orden.
O) Distinguiremos en R unsubconjunto no vac´o R+ , cuyos
ı
elementos llamaremos numeros reales positivos, tal que:
´
(O.1) Tricotom´a.
ı
´
∀x ∈ R se verifica una y solo una de las
proposiciones:
x ∈ R+ ∨ −x ∈ R+ ∨ x = 0.
(O.2)
∀x, y ∈ R+ , x + y ∈ R+ , R+ es cerrado para la suma
(O.3)
∀x, y ∈ R+ , xy ∈ R+ , R+ es cerrado para la
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multiplicacion.
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Definicion. Definimos en R la relacion menor que, simbolizada <
como sigue
∀x, y ∈ R, x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+ .
´
Tambien se escribe y
´
> x. De la definicion es claro que
x ∈ R+ ⇐⇒ x > 0.
R− = {x ∈ R : −x ∈ R+ }. Luego,
x ∈ R− ⇐⇒ x < 0.
´
Definicion.
´
´
Definicion. Definimos en R la relacion menor o igual que,
simbolizada ≤ como sigue
∀x, y ∈ R, x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ R+ ∨ x =y.
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Relacion de Orden. La relacion de orden ≤ satisface las
siguientes propiedades:
a) Es reflexiva,∀x
∈ R, x ≤ x
´
b) Es antisimetrica,∀x, y
c) Es transitiva,∀x, y, z
∈ R, x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y.
∈ R, x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z.
´
d) Criterio de comparacion,∀x, y
∈ R, x ≤ y o bien y ≤ x.
´
R con las operaciones...
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