Numeros reales

NÚMEROS REALES

El conjunto de los números naturales se representa por IN y corresponde al siguiente conjunto numérico:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ........}
Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a IN.
Ejemplo: 2 + 6 = 8, el 8 pertenece aIN.
5 · 3 = 15, el 15 pertenece a IN.
No ocurre lo mismo con las operaciones inversas, o sea, la sustracción y la división. Ellas no son operaciones cerradas en IN.
Ejemplo: 3 - 5 = -2, y -2 no es un elemento de IN.
1 : 4 = 0,25; y 0,25 no es un elemento de IN.
En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la adición:
Conmutatividad: a + b = b + a, con a y bpertenecientes a IN
Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9.
Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN
Verifiquemos que  (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolvamos los paréntesis:
                         7 + 6 = 5 + 8
                              13 = 13
En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades parala multiplicación:
Conmutatividad: a · b = b · a, con a y b pertenecientes a IN
Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 · 6 = 18, es lo mismo que 6 · 3 = 18.
Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN
Verifiquemos que  (5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6). Resolvamos los paréntesis:
                         10 · 6 = 5 · 12
                              60 = 60
ElementoNeutro: a · 1 = a, con a perteneciente a IN.
Todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento. 5 · 1 = 5;   9 · 1 = 9 ...
Distributividad: a·(b + c) = a·b + a·c, con a, b y c pertenecientes a IN.
Verifiquemos que   5·(3 + 6) = 5·3 + 5·6
                            5·9 = 15 + 30
                                 45 = 45

NÚMEROS REALES
El conjunto formado por losnúmeros racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por.

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Representación de los números reales
Los númerosreales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.






NÚMEROS RACIONALES
Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por.
 
Representación de números racionales
Los números racionales serepresentan en la recta junto a los números enteros.

Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.
1 Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo.
2 Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.
3 Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otrosegmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar.

En la práctica se utilizan número racional y fracción como sinónimos.


NÚMEROS IRRACIONALEs

 
Número irracional, número no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros.
 
La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobrealgunas figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es ; la longitud de la diagonal de un pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo (φ es aproximadamente igual a 1,6818); la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional p (pi).
 
La expresión decimal...