Numeros reales

NUMEROS REALES
INTRODUCCIÓN

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en elmomento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto denúmero real.1 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a losnúmeros irracionales (trascendentes y algebraicos), que nose pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .

Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relacionesarmónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «todo es número».
En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidadcomúnpara la que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.










PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES


Tricotomía

La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos números reales a y b, uno del siguiente esexactamente verdad:

ab.
Para cualquier relación de equivalencia R encendido conjunto A, la relación es tricótoma si para todo el x y y en A exactamente una de

xRy, x=y, yRx
asimientos.
Una relación tricótoma no es simétrica, no es reflexivo, sino es transitiva.


Transitividad
La transitividad es una de las propiedades más necesarias de los números reales.
En general, la propiedad dela transitividad tiene su aplicación en dos categorías: La Transitividad de la igualdad y la Transitividad de la desigualdad.
De acuerdo con la transitividad de la igualdad, si dos números son equivalentes al mismo número, entonces todos los números son equivalentes entre sí. Es decir, si a = b y b = c entonces a = c.
La Transitividad de la desigualdad trata con cuatro subpartescorrespondientes a; mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual que las desigualdades.
Si a, b, c son tres números reales y
1). Si a c, entonces a > c.
4). Si a ≥ b y b ≥ c, entonces b ≥ c.
En general, los primeras dos subpartes pueden afirmar que si un número es menor que o igual a un 2do numero, y el 2do es más pequeño o igual que un 3er entero, entonces el 1er número es menor o igual que eltercero.
Pueden existir casos, cuando el desarrollo de argumentos por medio de las leyes de la transitividad pueden resultar erróneos. Tales interpretaciones pueden ser consideradas como la aplicación destartalada de la propiedad de la transitividad. Un ejemplo de tales argumentos es el caso cuando en un partido de cricket, el Equipo x vence al Equipo y, y en el encuentro siguiente el Equipo y...