numeros reales

Números reales y sus propiedades.
(Notas redactadas por A. DIEGO y M. I. PLATZECK para el curso de Matemática General)
Los números naturales 1, 2, 3, ... , han sido creados por el hombre para contar los objetos de conjuntos finitos, el número natural n es una medida de la cantidad de objetos de un conjunto. Pero es necesario medir o comparar también longitudes, áreas, volúmenes, pesos,cantidades de calor, de electricidad, etc.. Para este tipo de cantidades sabemos decidir cuándo dos de ellas son equivalentes o iguales, mediante experiencias apropiadas. (Dos varillas que se pueden hacer coincidir son iguales en longitud, dos cuerpos que equilibran una balanza de platillos son iguales en peso, etc.). Se sabe además sumar dos cantidades de una misma especie y subdividir una cantidad dadaen n partes iguales.
De ahora en adelante, consideraremos el problema de medir cantidades en el caso de longitudes. El problema de precisar la noción de medida o longitud de un segmento se presentó tempranamente a los geómetras griegos hace unos 25 siglos.
Dado un segmento OU que se considerará como unidad de medida y otro segmento PQ, puede ocurrir que PQ se pueda partir en n segmentos igualesa OU; en este caso n es la medida o longitud del segmento PQ (con respecto a la unidad OU ). QUPO
Naturalmente, la circunstancia anterior es casual. En general, OU no “cabrá un número exacto de veces” en PQ.
Subdividamos ahora la unidad OU en m partes iguales. Se dice que cada una de estas partes (submúltiplos de OU) tiene longitud igual a 1m. Si se tiene un segmento PQ que puede dividirse enexactamente n partes iguales de longitud 1m, se dice que la longitud de PQ es nm.
En el ejemplo de la siguiente figura, la longitud de PQ (con respecto a la unidad OU ) es 75. UPO
En la figura siguiente, el segmento AC es el segmento suma de los segmentos AB y BC. BAC
OBSERVACIONES:
1) Es claro que si se subdivide la unidad OU en m partes iguales y luego cada una de ellas en p partes iguales, launidad OU quedó subdividida en pm⋅ partes, de modo que la medida de cada una de ellas es pm⋅1. Necesitaremos entonces p segmentos consecutivos de esa medida para obtener uno de los segmentos resultantes de la primera subdivisión, es decir que: pmpm⋅=1 .
1
2) Una consecuencia importante de la observación anterior es que pmprmr⋅⋅=
ya que ella nos dice que si la medida de un segmento es mrrespecto de la unidad OU, es decir que el mismo puede dividirse en r partes iguales de longitud m1, es claro que también podrá dividirse en pr⋅ partes iguales de longitud pm⋅1.
3) Otra consecuencia inmediata es que si en la figura siguiente, la medida de AB es mp y la de BC es mq entonces la medida de AC es mqp+. BAC
Como resultado de las observaciones anteriores es fácil verificar que, si respecto dela unidad OU, la medida de AB es mn y la de BC es rs, entonces la de AC es snnrsm⋅⋅+⋅.
Esto es: snnrsmsnnrsnsmsrnm⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+.
Por otro lado, puede también verificarse que si la medida de un segmento CD con relación a la unidad AB es rs y la medida de AB en relación con la unidad OU es mn, la medida de CD en relación a OU es nsmr⋅⋅, (esto es nsmrnmsr⋅⋅=⋅). Por ejemplo, las 45 partes de unsegmento que mide 23 tiene longitud 4523815⋅=.
Históricamente, los números racionales han surgido de la necesidad de medir distintos tipos de cantidades y las operaciones entre ellos (suma y producto) aparecieron naturalmente en la forma que se indica en el párrafo anterior.
Dado un segmento OU, puede preguntarse si cualquier segmento PQ tiene una medida racional con respecto a la unidad OU, en laforma indicada antes, es decir, si hay algún submúltiplo de OU que “quepa exactamente” un número entero de veces en PQ. La respuesta es negativa y fue dada por los matemáticos Pitagóricos de la manera que veremos a continuación:
La hipotenusa OP de un triángulo rectángulo isósceles ΔOPU no tiene medida racional con respecto a la unidad OU. PUO 2
En efecto, supongamos por el absurdo, que la...