NUMEROS REALES

MÓDULO 3

REPASO DE NÚMEROS - NÚMEROS REALES


Este módulo tiene por objeto recordar y clarificar las propiedades de las operaciones en los conjuntos numéricos que se consideran imprescindibles para seguir adelante.
Al finalizar el mismo el alumno debe ser capaz de:
a) Identificar los distintos tipos de números
b) Aplicar correctamente las propiedades de las operaciones.Comencemos

NÚMEROS NATURALES : ( N)
Este conjunto de números, que es de cardinal infinito, aparece como su nombre lo indica en forma natural, más precisamente cuando el hombre necesitó contar objetos, por ejemplo: Los días de la semana son 7
Este conjunto, simbolizado con la letra N, tiene como elementos

N = y esta sucesión continúa indefinidamente.
Con los naturales también se pueden expresarordenamientos, por ejemplo: Si se ordenan los planetas a partir del sol, la Tierra es el tercero y Marte es el cuarto.
Además dadas dos colecciones de objetos se pueden comparar sus cantidades
“La tierra tiene menos satélites que Júpiter”
Surgen las siguientes preguntas:
¿N tiene primer elemento? , ¿Cuál es? ¿Tiene último elemento?

Consideremos las dos operaciones fundamentales en N,suma y producto, y veamos sus propiedades:
1) La suma de dos números naturales es un número natural
2) El 0 es tal que sumado con cualquier otro número no lo modifica
3) Si se consideran 3 números naturales la suma de los dos primeros mas el tercero resulta igual que si al primero se le suma la suma de los otros dos
4) La suma de números naturales es conmutativa

Ejercicios

1) Expresarsimbólicamente las 4 propiedades anteriormente enunciadas
2) Enunciar las propiedades del producto de números naturales , en lenguaje corriente y simbólicamente
3) ¿Cuál es la propiedad que enlaza la suma y el producto de naturales? .Definirla

Orden Usual

Dados a y b  N se cumple : a < b , a > b ó a = b

NÚMEROS ENTEROS : ( Z)

En N la resta sólo está definida si el minuendoes mayor o igual al sustraendo .Para que dicha operación no sea tan restringida se creó el conjunto de enteros negativos (notado por - N)
Para ello para cadaN se introduce el opuesto de n, notado - n tal que
n + (-n) = 0

Entonces

Los números negativos se consideran menores que 0 en el orden usual de los enteros.
A los naturales se los llama enteros positivos,siendo mayores o iguales que 0

Importante


Ejercicios

1) Enunciar las propiedades de la suma y el producto de números enteros
2) Hallar todos los números invertibles de Z

Regla de los signos

Es POSITIVO el producto de dos enteros positivos o negativos.
Es NEGATIVO el producto de un positivo y un negativo (En cualquier orden)






Ley de Monotonía

Si a, b y c Zy

Ejercicio:
Probar la ley de Monotonía, justificando claramente los pasos seguidos



Números Pares e Impares

Dentro del conjunto de los eneros se distinguen dos subconjuntos cuya unión componen a Z, ellos son el conjunto de los números pares y el conjunto de los números impares.








Divisibilidad

Sean a, b Z
Decimos que b divide a a si existe un entero k tal que a= k b

Ejercicios

1) Hallar los divisores del 0.
2) Justificando claramente cada paso probar que

3) Idem 2)


Otro concepto importante en la teoría de Enteros es el de Número Primo






Ejercicios

1) Sea
Hallar los elementos primos de A. Justificar.
2) Si un número es primo ¿Qué se puede decir de su opuesto?
3) Hallar la descomposición en primos del número 340NÚMEROS RACIONALES :(Q)

La operación de dividir no es siempre posible en el conjunto Z de los números enteros. Veamos:
Puede efectuarse 12: 4 pues existe un entero, en este caso el entero 3, tal que 4. 3 = 12.
No ocurre lo mismo con 4: 12 ó - 3: 7, por lo tanto esta imposibilidad nos conduce a ampliar a Z definiendo un conjunto en el que la división sea realizable en dicho conjunto....