NUMEROS REALES

NUMEROS REALES
Esquema
1).- Las relaciones de Orden de los Números Reales
Conceptos
Ejemplos
Ejercicios
Gráficos
2).- Propiedades de las Relaciones de Orden en los Reales
3).- Valor Absoluto en los Números Reales
4).- Ecuaciones con Valor Absoluto
5).- La Recta Real e Intervalos de Coordenadas de un Punto de la Recta Real
6).- Coordenadas de un Punto en la Recta Real
7).-Distancia entre 2 Puntos en la Recta Real
8).- Puntos Medios y Distancias entre Puntos
9).- Propiedades de la Distancia entre 2 Puntos
10).- Intervalos Reales
Desarrollo
1).- Las Relaciones de Orden en los Números Reales
Definición:
Al igual que en los conjuntos N, Z y Q, en los números reales R utilizaremos la recta numérica y los signos >, 1,414
"3 > "2
Al generalizar dos números reales a yb, decimos que a < b si b está mas a la derecha que a en la recta real.
Si a < b, entonces b - a > 0
Los intervalos en R se definen como los intervalos en Q.
Para expresar los intervalos abiertos es suficiente el signo < (menor qué), pero para expresar los intervalos cerrados, se necesita el signo " (menor o igual qué)
Intervalo abierto (a,b)
Intervalo cerrado [a,b]
Intervalo abierto a laderecha [a,b)
Intervalo abierto a la izquierda (a,b]
% %
a b
% %
a b
% %
a b
% %
a b
El intervalo abierto (a,b) está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, excluidos a y b. Se expresa por a < x < b.
El intervalo cerrado [a,b] está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, incluidos a y b. Se expresa por a " x " b.
Análogamente, el intervalo [a,b) seexpresa a " x < b. y el intervalo (a,b] se expresa por a < x " b.
De la recta numérica se puede deducir que:
Cualquier numero positivo es mayor que cualquier numero negativo
Cualquier numero negativo es mayor que menor que cualquier numero positivo.
Orden en los números Reales
Dados dos números reales a y b siempre se cumple uno de los siguientes casos:
a > b
a < b
a = b
Para ordenarun conjunto de números reales, se comparan dichos números y se establecen las relaciones de orden (>, < o =) que existen entre ellos.
Ejemplos:
Para ordenar "5 y 2"3. Se calcula su diferencia: "5 - 2"3 =2,24 - 2 . 1, 73 = 2,24 - 3,46 = -1,22 < 0. Como el resultado es negativo, significa que 2"3 > "5.
Un conjunto de números reales se puede ordenar en forma decreciente (mayor a menor), utilizandola relación >. Si aparecen números irracionales se deben aproximar.
Por ejemplo, para ordenar en forma decreciente los números 0,065; - 1,3; -5/3; 4,5; 0,06; 0,1; 8,32; "5/2, utilizando la relación > con aproximación a las centesimas.
Se escriben los números racionales y los irracionales en forma decimal, con aproximación a las centesimas, es decir, con dos cifras decimales:
-5/3= -1,67 "5/2=1,12
Luego se ordenan los números de mayor a menor:
8,32 > 4,5 > 1,12 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -1,67
Entonces los números con los valores originales quedarían ordenados así:
8,32 > 4,5 > "5/2 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -5/3
Para ordenar en forma creciente (de menor a mayor) un conjunto de números reales, se utiliza el signo 0, y > 0)
Si x < 0 entonces f(x) = - x. la grafica de estafunción es una recta cuya ecuación es y = - x
Para representar esta recta basta con representar dos puntos de ella, los cuales aparecen en la siguiente tabla:
x
-1
-2
y
1
2
La grafica de esta recta estará ubicada en el segundo cuadrante x 0. luego la grafica de la función valor absoluto viene dada por la unión de las dos rectas.
4).- Ecuaciones con Valor Absoluto
A continuación seaplicarán las propiedades de la función valor absoluto para resolver ecuaciones de la forma: |ax+b|=c
Por ejemplo: observa como se resuelve la siguiente ecuación: |3x+2|=5.
De acuerdo con las propiedades de la función valor absoluto, de la ecuación |3x+2|=5 se originan dos ecuaciones:
3x+2=5
3x= 3
x=1
3x+2=-5
3x=-7
x=-7/3
La ecuación tiene dos soluciones. Si se sustituye cada solución en...