numeros reales

“NUMEROS REALES”

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales y recibe el nombre de Conjunto de los Números Reales y se denota con el símbolo,simbólicamente escribimos:
 
Los números reales incluyen tanto a los números racionales como: 31, 4 etc.
El conjunto de los números reales, con el orden inducido por el orden en,   y   es son unconjuntototalmente ordenado.
Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.
Podemos considerar  como el conjuntode todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
Los Números reales son aquellos que poseen una expresión decimal.

Tipos de números reales
Un número real puede ser unnúmeroracional o un número irracional.
Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos losdemás. Se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (como una fracción común).Los números racionalestambiénpueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica.

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales sontodos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

Ejemplos
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud6 (repite 714285).
\frac{\sqrt[3]{7}+1}{2}=1\text{,}456465591386194\ldots es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales sonalgebraicos: si \frac{p}{q} es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.

Ejemplos
El número \frac{\sqrt[3]{7}+1}{2} es algebraico puesto que es la raíz del polinomio 8x^3-12x^2+6x-8
Un ejemplo de número trascendente es \ln3=1\text{,}09861228866811\ldots

Construcciones de los númerosreales
Caracterización axiomática

Fue propuesto por el matemático alemán David Hilbert. En textos actuales de cálculo y análisis matemático aparecen enunciados equivalentes al de Hilbert.5
Artículo principal: Axiomas de los números reales

Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común, el conocido como métododirecto que introduce el sistema (ℝ, +,., ≤), donde los elementos de ℝ se llaman números reales, + y. son dos operaciones en ℝ, ≤ es una relación de orden en ℝ.6 Se presenta una variante axiomática, mediante las siguientes tres propiedades:

Un conjunto (K,+,\cdot, \leq) es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones:

(K,+,\cdot) es un campo.(K,\leq) es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo:

Si a\le b entonces a+c\le b+c;
Si a\le b y 0\le c entonces ac \le bc.

El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.

El axioma del supremo es una variante...