numeros reales

1.-NUMEROS REALES
1.1 LA RECTA NUMERICA
La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente.

La recta numérica. Aunque la imagen de arriba muestra solamente los números enteros entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando «ilimitadamente»en cada sentido.
Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en azul.
Sobre la recta real se pueden definir diferentes topologías bajo las cuales la recta real tiene propiedades topológicas y geométricas, diferentes de la de la topología métrica usual.
Puntointerior
Sea H un subconjunto de ℝ. Un punto y0 de H se denomina un punto interior de H, si existe r real positivo tal que ⊂ A. Al conjunto de los puntos interiores de H se nombra interior de H, se denota por int(a). Si el punto y0 está en el interior de A, se dirá que A es entorno de dicho punto. 
Ejemplo: Si H = {1}∪[3,5] ∪[6, 8> . Los puntos 1, 3, 5 y 6 no son puntos interiores de H.Mientras int(H) = ∪.
Tener presente que si H es parte de J entonces el interior de H es parte de del interior de J. También que el interior de H es parte de H.
Conjunto abierto
Un subconjunto K de ℝ se llama abierto, si todo punto de K es punto interior de K. Esto es, K ⊂ Int(K).
Es obvio que ℝ y ∅ son conjunto abiertos.
Cualquier intervalo abierto ⊂ℝ es un subconjunto abierto de ℝ
Laintersección de con es un subconjunto abierto de ℝ, para cualquier n entero positivo
- [4, 6] es un subconjunto abierto de ℝ.
Para cualquier conjunto de números reales su interior es un conjunto abierto.
Arquitectura de nuevos abiertos
1. La unión de una familia de subconjuntos de ℝ es un subconjunto abierto.
2. La intersección de dos subconjuntos de ℝ es un subconjunto de ℝ. Lo mismo laintersección de una familia finir de abiertos es un subconjunto abierto.
3. La intersección arbitraria de abiertos puede no ser subconjunto abierto. La intersección se la familia {} = [1, 3]
4. Los intervalos son conjuntos abiertos; para el caso, el primero es la unión de los abiertos , n recorre todo ℤ+.
Punto adherente
Dados el subconjunto M de números reales y el punto real y0, diremos que estepunto es adherente a M si la intersección de M con cualquier intervalo simétrico que contiene a y0es no vacía. Al conjunto de puntos adhrentes a M se llama adherencia (clausura) de M y se denota adh(M) o Cl(M)
1.2 LOS NUMEROS REALES
En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a losnúmeros irracionales; y enotro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simplesaunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «seacerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real. En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de...