NUMEROS REALES

 
 
1- ¿Qué son los números reales?
La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales recibe el nombre de conjunto de los números reales, y se denota con el símbolo:
 
 
El conjunto de los números reales está formado por una serie de subconjuntos de números que definiremos a continuación:
- Los números naturales que surgen con la necesidad de contar
 ={1, 2, 3, 4,...}
-  Los números enteros que complementan a los naturales pues son contienen a los negativos y el cero .
 
 
-  El conjunto de los Números Racionales () que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica. Es decir, el conjunto de los números racionales está compuesto por todos los números que pueden serescritos como una fracción cuyo numerador y denominador (distinto de cero) son números enteros. 
Ejemplo: 
= {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}
 
- El conjunto  de los Números Irracionales (I)  que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

 
Puesto que los naturales están incluidos en los enteros y todos los enteros pueden ser representadoscomo un número racional, se dice que los números reales son la unión de los números racionales y los irracionales.

 
2- Propiedades.
Las propiedades de las operaciones que involucran números racionales se extienden naturalmente a losnúmeros reales:
-  Las operaciones básicas tienen como resultado números reales; es decir, de la adición, sustracción, multiplicación y división de números reales seobtiene siempre un número real. Es decir, el conjunto de los números reales es cerrado.
-  La adición y la multiplicación de números reales satisfacen las propiedades de conmutatividad yasociatividad; cada operación tiene un elemento neutro y cada número real tiene su elemento inverso, tanto aditivo como multiplicativo (excepto el 0, que no tiene inverso multiplicativo).
- Además, la multiplicaciónes distributiva respecto de la adición.
-  Es un conjunto denso, esto es, entre dos números reales siempre hay otro número real.
 
Los números racionales, cuando se escriben como números decimales, son finitos, infinitos periódicos o infinitos semiperiódicos. Sin embargo, los números irracionales son siempre números decimales infinitos pero no periódicos. Considerando su representación en la rectanumérica, los números reales ocupan la recta numérica por completo, ya que los números irracionales completan todos los espacios dejados por los racionales en la recta numérica

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros,positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.
Subconjunto de los números Reales

Propiedades y operaciones con los números reales
Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir números Reales.
Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero endirecciones opuestas se denominan:
Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.
3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3
El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.
La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).
Inverso aditivo
Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.
Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4).Como sabemos que este número debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo.
Propiedad del doble negativo
Para cualquier número real a, -(-a) = a
Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9
Valor absoluto
El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el valor absoluto de 0 es 0.
Para determinar el valor...