Numeros

Números racional
En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo[1] ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominadordistinto de cero b. El término racional alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota porQ (o bien ,en Blackboard bold) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (), y es un subconjunto de los números reales ().
La representación decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para la representación de números en base 10 (sistema decimal), también lo es enbase binaria, hexadecimal o cualquier otrabase entera. Recíprocamente, todo número que admite una representación (en cualquier base entera) finita o periódica, es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la representación decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.
En sentido estricto, número racional es elconjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre Z
* El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba,conforma un cuerpo conmutativo: elcuerpo de cocientes de los enteros .
* Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
* La clausura algebraica de , es el conjunto de los números algebraicos.
* El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre  y  (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no esnumerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).
* Propiedad arquimediana: el conjunto  es denso en  por construcción misma de ; es decir, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos.
[editar] Desarrollo decimal de los números racionales
Los números racionales se caracterizan por tener una expansióndecimal que sólo puede ser de tres tipos:
* Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:

* Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

* Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

Nota: lo mismo aplica para el desarrollo decimal de un número racional en bases distintas de diez.
[editar] Número racional en otrasbases
En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita.
* Ejemplos:
* En base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y sólo si el denominador de su fracción irreducible es de la forma 2n·5p (n y p enteros).
* Enbase duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.
Propiedades topológicas de los números racionales
* Forman un subconjunto denso de los números reales: todo número real tiene racionales arbitrariamente cerca.
* Poseen una expansión finita como fracción continua regular.
* Con la topología delorden, forman un anillo topológico, o de grupo parcialmente ordenado; presentan una topología inducida; también forman un espacio métrico con la métrica d(x,y) = |x − y|.
* Los racionales son un ejemplo de espacio que no es localmente compacto.
* Se caracterizan topológicamente por ser el único espacio metrizable numerable sin puntos aislados (también estotalmente discontinuo). Los...